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1、 对称法对称法 电流叠加法电流叠加法 Y-变换法变换法 对具有一定对称性的电路对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对通过对等势点的拆、合，对称电路的称电路的“折叠折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。，将电路简化为基本的串并联电路。 直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布这就是电流的可叠加性对于一些并不具备直观的对称性

2、的电路，是电流的可叠加性对于一些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不对称问题转化成具有对称性的问题加以解决对称问题转化成具有对称性的问题加以解决 。利用利用Y型联接电阻与型联接电阻与型联接电阻间等价关系的结论，通型联接电阻间等价关系的结论，通过电阻过电阻Y型联接与型联接与型联接方式的互换，达到简化电路成单纯型联接方式的互换，达到简化电路成单纯串联或并联的目的串联或并联的目的 解解: :ABCDEFHGACBDEGFH3343ACR RRRRR 则则AC间等效电阻间等效电阻: 如图所示，如图所示，

3、12个阻值都是个阻值都是R的电阻，组成一立的电阻，组成一立方体框架，试求方体框架，试求AC间的电阻间的电阻RAC 、AB间的电阻间的电阻RAB与与AG间的电阻间的电阻RAG 续解续解ABCDEFHGAB间等效电阻间等效电阻:EGFHABCD2RR222.ABRRRRRRRRRRRR

4、由如图所示的正方形网格由24个电阻个电阻r0=8的电阻的电阻丝构成，电池电动势丝构成，电池电动势=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流，内电阻不计，求通过电池的电流 波兰数学家谢尔宾斯基波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形他年研究了一个有趣的几何图形他将如图将如图1所示的一块黑色的等边三角形所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的

5、三个等边三角形按相同的方法处理，的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图经过第二次分割就得到图3的图形经三次分割后，又得到图的图形经三次分割后，又得到图4的图形这是带有的图形这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性就是将其自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图中一个小单元（例如图4中的中的BJK）适当放大后，就得到图）适当放大后，就得到图2的图形如果这个的图形如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫

6、中的黑色部分将被不断地镂空 图图1 图图2 图图3 图图4 数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分形几何学分形几何学”的新学科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和的新学科近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展 我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如图等效电阻问题：设如图1所示的三角形所示

7、的三角形ABC边长边长L0的电阻均为的电阻均为r；经一次分割得到；经一次分割得到如图如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的二分之一；经二次分割得到如图的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻的边长的电阻r的八分

8、之一的八分之一 试求经三次分割后，三角形试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻 试求按此规律作了试求按此规律作了n次分割后，三角形次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻任意两个顶点间的等效电阻ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGI J解答解答解解: :读题读题对三角形对三角形ABC,任意两点间的电阻任意两点间的电阻 r023Rr A BC对分割一次后对分割一次后的图形的图形 2r1635925Rrr 56r对分割二次后对分割二次后的图形的图形 512r256r 225623Rr 可见可见, ,分割三次后分割三次后的图形的图形 331

9、rrR 2536nnRr 递推到分割递推到分割n次后的图形次后的图形 如图所示的平面电阻丝网络中，每一直如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r试求试求A、B两点间两点间的等效电阻的等效电阻 解解: :ABABBABAr34ABRr ABAB 三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是接成如图所示的网络已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图中试求图中A、B两点间的等效电阻两点间的等效电阻RAB 解解: : 三个金属圈共有六个结点，每四分之三个金属

10、圈共有六个结点，每四分之一弧长的电阻一弧长的电阻R/4. . 将三维金属圈将三维金属圈“压扁压扁”到到ABAB所在平面并所在平面并“抻直抻直”弧线成下图弧线成下图4R8RBA882882ABRRRRRRR 548R 4R 正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小段电阻均为段电阻均为R试求试求RAB和和RCD 解解: :34ABRr

11、势点拆分，原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限网络，其基本单元如图丙限网络，其基本单元如图丙BBnAnnA nB RxRRRR2R丙丙BA甲甲AABAB乙乙当当n时，多一个单元，只是使时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即按边长同比增大，即 xxxxxRRRRRRRRRRRRR 713xRR 713ABaR 试求框架上试求框架上A、B两点间的电阻两点间的电阻RAB此框架是用同种细金此框架是用同种细金属制作的，单位长度的电阻为属制作的，单位长度的电阻为一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，一连串内接等边