六年级华罗庚杯竞赛试题_百度文库
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六年级华罗庚杯竞赛试题
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华罗庚杯竞赛题jijijijijiijijij
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华杯赛辅导讲座(初一)()例1．两个正整数相加时,得到一个各位数字相同的两位数,这两个数相乘时,得到一个各位数字相同的三位数,求原来的两个数．解 由于这两数和为二位数,故它们都不超过二位．由于其积的三位数字相同,故其积可以写成111t(1≤t≤9,t为整数)的形式．111t＝37×3t．于是这两个数中必有一个为37或74．若一个数为37,经试验,另一数为18；若一个数为74,经试验,另一个数为3．故填37与18或74与3．例2．求质数p,使p2＋71的正约数不超过10个．解 p＝2时,p2＋71＝75＝3×52,d(75)＝2×3＝6＜10,故p＝2是本题的解；
p＝3时,p2＋71＝80＝24×5,d(80)＝5×2＝10≤10,故p＝3是本题的解；
若质数p＞3,则p2≡1(mod 8)&#6≡0(mod 8),故23|p2＋71；
p2≡1(mod 3) p2＋71≡0(mod 3),故3|p2＋71．
所以,p2＋71＝2α×3β×t．其中α、β∈N*,且α≥3．
当α＝3,β＝1,t若有大于3的质因子,则d(p2＋71)≥4×2×2,故t＝1．此时无质数p满足题意；
当α＝4,β＝1,必有t＝1,此时有d(p2＋71)≥5×2＝10．此时无质数p满足题意；
当α≥4,β≥1,且等号不同时成立时,d(p2＋71)＞10．
综上可知,解为p＝2,3．例3．把1－51这51个整数分成17组,每组3个数,各组数的和都相等．
1＋2＋3＋…＋51＝52×51÷2＝26×51；故分成每组3个数的和＝26×51÷17＝78．把1－51这51个数先分成3组,1－17一组,18－34为第二组,35－51为第三组．如果能把第一组排成递减2的一行数,第二组排成递增1的一行数,则可以排出满足要求的数组来：
42 例4．0＋95的整数部分末两位数字是几?0＋95＝0＋＋95＝()()＋＋95
＝＋＋95．但95的末两位数字为49,而200650的末两位数字与650的末两位数字相同．计算61,62,63,……的末两位数字,分别得到6,36,16,96,76,56；36；16；96；76；即其末两位数字将出现循环,故650的末两位数字为76,从而的末两位数字为27．故原式的整数部分的末两位数字为27．例5．⑴ 在1,2,3,4,…,这2006个平方数的每一个的前面添上适当的“＋”号或“—”号,使其代数和取最小非负整数值．这个最小非负整数值是多少?试证明你的结论?⑵ 在12,22,32,42,…,这2006个平方数的每一个的前面添上适当的“＋”号或“—”号,使其代数和取最小非负整数值．这个最小非负整数值是多少?试证明你的结论?解 ⑴ 由于这2006个数中有1003个奇数与1003个偶数,故其和为奇数,从而任意改变某些数前的符号,其代数和的奇偶性不变,故无论怎样改变这些数前的符号,都不能使其和为偶数,从而此和不可能等于0,所以,所求的最小非负和最小为1．又n－(n＋1)－(n＋2)＋(n＋3)＝0,故可从3起每4个数一组,每组的第1、4两个数前用“＋”号,而第2、3两个数前用“－”,则此2004个数的和为0,再在1前用“－”号,2前用“＋”号,则此2006个数的和为1．所以,所求的最小非负和为1．⑵ 同上知,此和不可能等于0．由n2－(n＋1)2－(n＋2)2＋(n＋3)2＝4,如果在连续8个自然数的平方和中,第1、4、6、7个前面取“＋”号,第2、3、5、8个前面取“—”号,则其代数和为0．0＋6,若把从72起每依次8个数为一组,按上述方法安排“＋”“－”号,则这些数(共250组))的代数和为0．12＋22＋32＋42＋52＋62＝91,而(91－1)÷2＝45,且4＋16＋25＝45,故只要在22、42、52前用“－”号,12、32、62前而用“＋”号,则可使其代数和为1．故,可以安排这2006个平方数前面的“+、－”号,使其代数和等于1．从而这个最小非负整数值为1．例6．⑴ 能否找到16个互不相同的整数,使其中任意9个整数的和都不能被9整除；⑵ 能否找到17个互不相同的正整数也满足此要求?例如,其中8个被9除都余1,另8个数被9整除．这样的16个数中,任何9个都不能被9整除．由于任取5个数,其中一定有3个数其和为3的倍数,取这5个数被3除的余数,只能是1,2,0．若5个数被3除的余数中,这三种2都有,则每种余数的数各取一个,其和是3的倍数,如果这5个数被3除只有2种余数,则由抽屉原理知,必有3个数被3除的余数相同．取此3个数,其和是3的倍数．于是,17个数一定能组成5组,每组3个数,其和是3的倍数．把这5组数的和为3a,3b,3c,3d,3e．考虑a、b、c、d、e这5个数,由上证,其中必有3个数的和为3的倍数,不妨设a+b+c是3的倍数．于是3a+3b+3c是9的倍数,此时,取和为3a、3b、3c的9个数,其和为9的倍数．即任取17个整数,其中一定可以找到9个数,其和为9的倍数．因此找不到17个满足上述要求的正整数．例7．已知m、n、k为正整数,m≥n≥k,且2m+2n－2k是100的倍数,求m+n－k的最小值．解 设2m+2n－2k =100t(t∈N),若n=k,则得2m=100t,不可能,∴n>k．∴ 2k(2m－k+2n－k－1)=22•52t．由2m－k+2n－k－1为奇数,∴ k≥2．取m－k=p,n－k=q,(04(∵ 24+2313．∴ 最小值为13．例8．把1,2,3,4,5,6,7,8这8个数写在立方体的八个顶点处,在各棱的中点注上该棱两端的两个数的和,共得12个和.这12个和能否只有5个不同的值? 能否只有4个不同的值? 分析 为了解决本题,考虑与某顶点相邻的三条棱中点处可能写的数：同一顶点出发的三条棱的中点处写的三个数都不同.因为从这一顶点出发的三条棱的另一端点处写的三个数都互不相同.与1相邻的三条棱的中点处可能写3,4,5,6,7,8,9这7个数中的3个；与8相邻的三条棱的中点处可能写9,10,11,12,13,14,15这7个数中的3个；现在考虑最小的数1与最大的数8,与它们相邻的棱的中点处写的数中只有一个数相同,即为9.换句话说,与1和8相邻的棱上出现的数除9外都不可能相同.而且,要在这两个数为一个端点的棱的中点处出现9,必须1与8是同一条棱的两个端点.如果1与8不是同一条棱的两个端点,则与它们相邻的棱就有6条,这6条棱的中点处写的数就有互不相同的6个数.于是所有棱的中点处写的数就不会少于6个.而只有当1与8是同一条棱的两个端点时与它们相邻的棱上只出现5个不同的数.为此要使条棱中点处写的数只有5个不同的数值.就必须把1与8放在同一条棱的两端.此时,如果让与1相邻的数尽可能大,而与8相邻的数尽可能小.就有可能在各条棱中点处只出现5个数.如下图中的安排就是合要求的一种填法.不同数值 A B C D E F G H7,8,9,10,11, 1 6 2 8 7 4 5 3
由上面的分析知,在棱的中点处填的数只有4个不同的值的填法是不可能有的.例9．有8组密码,都是由三个字母组成的,分别代表一个三位数,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字.它们分别是：WNX
TSX已知其中四个密码分别代表571、439、286、837．你能破译出这8组密码吗?给出的4组数有12个数码,1－9均有,其中,3重复2次,都在十位；7重复两次,在十、个位；8重复两次,在百、十位．第4个数组837中的每个数字都重复出现过．在8组密码中,十位重复的有4个字母：N、W、X、S,故其中必有一个字母是3．⑴ 设N＝3,则837必为WNX或XNS：
① 若W＝8,X＝7,则571无密码组对应,故不可能；
② 若X＝8,S＝7,则286无密码组对应,故不可能；⑵ 设W＝3,则837为RWQ或QWN,① 若Q＝7,则571无密码组对应,② 若Q＝8,则286无密码组对应,故不可能；⑶ 设X＝3,则SXW＝837或NXY＝837,① 由于Y只出现1次,与7重复出现矛盾,故NXY＝837不可能；② 若SXW＝837时,可逐步推出Q＝1,P＝2,X＝3,N＝4,R＝5,T＝6,W＝7,S＝8,Y＝9．这8组密码分别为743
683例10．⑴ 能否在一个圆圈上安排数字1,2,3,…,13,使任两个相邻位置上的数之差(大减小)是5或8?⑵ 能否在一个圆圈上安排数字1,2,3,…,13,使任两个相邻位置上的数之差(大减小)是3,4或5?
⑴ 1,6,11,3,8,13,5,10,2,7,12,4,9,即安排完了；
⑵ 由于1,2,3,11,12,13这6个数不能相邻,故它们排在圆圈上后,每两个数间至少要再插入1个数．即余下7个数要插入此6个空档处．由于4只能与此6个数中的1相邻,10只能与这6个数中的13相邻,故4与10也不能单独插入某个空档．这样其余5个数就必须单独插入某个空档,只能用4与10共同插入1个空档,但这两个数又不能相邻,即无法完成这一安排．<input type="hidden" name="content" value=" " />
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论坛今日热贴第一讲 工程问题（一）一、知识链接工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量，
工作总量÷工作时间＝工作效率，工作总量÷工作效率＝工作时间．为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效． 二、例题精讲例1 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？分析
设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工效为工效为1，乙、丙合作的1211，甲、丙合作的工效为。因此甲、乙、丙三队合作的工效的2倍为＋＋，所以甲、乙、丙三队合作的工效为（＋＋）÷2=。101因此三队合作完成这项工程的时间为1÷=10（天）10解：1÷[（111＋＋）÷2]=10（天） 121520答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位，这样，工效就用工时的1倒数来表示。如例1中甲、乙两队合作的工时为12天，那么工效就为，它表121示甲、乙两队一天完成全部工程的。12例2 师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天后，因7事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的批零件各需几天？101分析 设一批零件为单位“１”，其中６天完成任务，用表示师徒的工效6和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．解：师傅工效：（711－×３）÷２＝； 10610111徒弟工效：－＝；61015师傅单独做需几天：１÷
徒弟单独做需几天：1÷1＝10（天） 101＝15（天）。 15答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．例3 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？分析 解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。解：设甲做了x天．那么， 甲完成工作量的1x，乙做的天数10－x， 121乙完成工作量（10－x）×，9因此11x＋（10－x）×=1，912两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36x＝4．答：甲做了4天．例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？分析 设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下： 由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量＝乙3小时工作量．可用代换方法求解问题．解：若由乙单独做共需几小时： 6×3＋12＝30（小时）．若由甲单独做需几小时： 8＋6÷3＝10（小时）．甲先做3小时后乙接着做还需几小时： （10－3）× 3＝21（小时）． 答：乙还需21小时完成．1例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程的。3如果想提前6天完工，还需增加多少人？1分析
由18人修12天完成了全部工程的，可通过18×12求出用一天完311成工作量共需要的总人数，也可通过18×12求出用一人完成工作量共需要331的总天数。所以由÷（18×12）求出1人1天完成全部工程的几分之几（即一3人的工效）。解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：11÷（18×2）=6483②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：11（1－）÷[×（30－12－6）]3648=122÷ 6483=36（人）③需增加几人：36－18＝18（人）． 答：还要增加18人．例6 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水?的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）分析与解答 ①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝1÷（进水管工效－出水管工效）。排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）．②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池中的121211水每小时减少－=。水池中有半池水即，经过6小时后还剩－×（61÷2）=。如果按进水、排水的顺序进行，则又应进水1小时，这时水池内共101133119＋=。如果按每小时的流速排出需要÷=（小时），共用9的时间为6＋1＋=7.9（小时）=7小时54分刚好排完。10有水1，乙6小时又完成了剩下任务的一半，4最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少时间才能完成？例7
一件工作，甲5小时先完成了分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？解：甲工作效率：11÷5=； 420111）×÷6=； 4162乙工作效率：（1－余下部分甲、乙合作需要几小时： （1－11111）×（1－）÷（＋）=3（小时）24201631答：还需要3小时才能完成任务。31例8
甲、乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多，如果二3人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？分析 求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效差。乙知1甲比乙所用的时间多，可以求出甲与乙所用的时间比为4：3。当工作总量一34定的情况下，工效与工时成反比例，甲与乙的工时比为：1=4：3，所以甲与乙3的工效比是3：4。这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了。11解：设乙所用时间为“1”，甲的时间是乙的1＋=1（倍），则甲与乙的33时间比是4：3。工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为3∶4。共植树多少棵：36÷（43－）=252（棵） 77答：这批树一共252棵．例9 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然2后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成。乙知甲每天比乙多加工3个零5件，求这批零件共多少个？}