二叉树 是一个空链接，或者是一个有左右两个链接的节点，每个链接都指向一颗子二叉树。

二叉查找树 （BST）是一颗二叉树，并且每个节点的值都大于等于其左子树中的所有节点的值而小于等于右子树的所有节点的值。

BST 有一个重要性质，就是它的中序遍历结果递增排序。

可以看到该插入操作和二叉查找树的插入操作类似，只是在最后加入了旋转和颜色变换操作即可。

根节点一定为黑色，因为根节点没有上层节点，也就没有上层节点的左链接指向根节点。flipColors() 有可能会使得根节点的颜色变为红色，每当根节点由红色变成黑色时树的黑链接高度加 1.

一颗大小为 N 的红黑树的高度不会超过 2logN。最坏的情况下是它所对应的 2-3 树，构成最左边的路径节点全部都是 3- 节点而其余都是 2- 节点。

红黑树大多数的操作所需要的时间都是对数级别的。

散列表类似于数组，可以把散列表的散列值看成数组的索引值。访问散列表和访问数组元素一样快速，它可以在常数时间内实现查找和插入操作。

由于无法通过散列值知道键的大小关系，因此散列表无法实现有序性操作。

对于一个大小为 M 的散列表，散列函数能够把任意键转换为 [0, M-1] 内的正整数，该正整数即为 hash 值。

散列表存在冲突，也就是两个不同的键可能有相同的 hash 值。

散列函数应该满足以下三个条件：

• 一致性：相等的键应当有相等的 hash 值，两个键相等表示调用 equals() 返回的值相等。
• 高效性：计算应当简便，有必要的话可以把 hash 值缓存起来，在调用 hash 函数时直接返回。
• 均匀性：所有键的 hash 值应当均匀地分布到 [0, M-1] 之间，如果不能满足这个条件，有可能产生很多冲突，从而导致散列表的性能下降。

除留余数法可以将整数散列到 [0, M-1] 之间，例如一个正整数 k，计算 k%M 既可得到一个 [0, M-1] 之间的 hash 值。注意 M 必须是一个素数，否则无法利用键包含的所有信息。例如 M 为 10k，那么只能利用键的后 k 位。

对于其它数，可以将其转换成整数的形式，然后利用除留余数法。例如对于浮点数，可以将其的二进制形式转换成整数。

对于多部分组合的类型，每个部分都需要计算 hash 值，这些 hash 值都具有同等重要的地位。为了达到这个目的，可以将该类型看成 R 进制的整数，每个部分都具有不同的权值。

例如，字符串的散列函数实现如下：

再比如，拥有多个成员的自定义类的哈希函数如下：

Java 中的 hashCode() 实现了哈希函数，但是默认使用对象的内存地址值。在使用 hashCode() 时，应当结合除留余数法来使用。因为内存地址是 32 位整数，我们只需要 31 位的非负整数，因此应当屏蔽符号位之后再使用除留余数法。

拉链法使用链表来存储 hash 值相同的键，从而解决冲突。

查找需要分两步，首先查找 Key 所在的链表，然后在链表中顺序查找。

对于 N 个键，M 条链表 (N>M)，如果哈希函数能够满足均匀性的条件，每条链表的大小趋向于 N/M，因此未命中的查找和插入操作所需要的比较次数为 ~N/M。

线性探测法使用空位来解决冲突，当冲突发生时，向前探测一个空位来存储冲突的键。

使用线性探测法，数组的大小 M 应当大于键的个数 N（M>N)。

删除操作应当将右侧所有相邻的键值对重新插入散列表中。

线性探测法的成本取决于连续条目的长度，连续条目也叫聚簇。当聚簇很长时，在查找和插入时也需要进行很多次探测。例如下图中 2~5 位置就是一个聚簇。

α = N/M，把 α 称为使用率。理论证明，当 α 小于 1/2 时探测的预计次数只在 1.5 到 2.5 之间。为了保证散列表的性能，应当调整数组的大小，使得 α 在 [1/4, 1/2] 之间。

应当优先考虑散列表，当需要有序性操作时使用红黑树。

当向量为稀疏向量时，可以使用符号表来存储向量中的非 0 索引和值，使得乘法运算只需要对那些非 0 元素进行即可。

这是一个经典的递归问题，分为三步求解：

如果只有一个圆盘，那么只需要进行一次移动操作。

根据数据出现的频率对数据进行编码，从而压缩原始数据。

例如对于一个文本文件，其中各种字符出现的次数如下：

可以将每种字符转换成二进制编码，例如将 a 转换为 00，b 转换为 01，c 转换为 10，d 转换为 11。这是最简单的一种编码方式，没有考虑各个字符的权值（出现频率）。而哈夫曼编码采用了贪心策略，使出现频率最高的字符的编码最短，从而保证整体的编码长度最短。

首先生成一颗哈夫曼树，每次生成过程中选取频率最少的两个节点，生成一个新节点作为它们的父节点，并且新节点的频率为两个节点的和。选取频率最少的原因是，生成过程使得先选取的节点位于树的更低层，那么需要的编码长度更长，频率更少可以使得总编码长度更少。

生成编码时，从根节点出发，向左遍历则添加二进制位 0，向右则添加二进制位 1，直到遍历到叶子节点，叶子节点代表的字符的编码就是这个路径编码。