（任金波整理，欢迎纠错）

以下是我整理并翻译成汉语的，本人才疏学浅，有些地方实在没听懂，其余部分难免也有很多错误，翻译的汉语对演讲者的意思的传达也可能有不准确的地方，恳请大家纠错并不吝赐教！谢谢！

特别鸣谢：Asa，Ray，诸子越同学，胡晓文师兄，张汉雄师兄，我万分感谢他们对我的帮助！！！

· 他是芝加哥大学最受欢迎的教授之一

· 他对什么是好的数学、什么是不好的数学以及怎么做数学都有很多独到的见解

· 他是Thurston（几何化猜想的提出者）比较杰出和特别的学生

· 他已经指导了29个博士生

季理真：欢迎来到“现代数学概观”这一国际会议的特别讲座《如何从事数学研究》。我相信你们都是热爱数学的，这也是为什么你们来这里的原因。我也相信你们都想成功。首先，你要选择一个方向。在生活中，你需要找很可能共度一生的伴侣，我相信大家都会很慎重地选择。在数学中也是这样，你需要找一个好方向。但是，即使选择了方向，你还是要做数学呀，那么，问题在于“怎样做数学”？Farb教授思考这样的问题已经很长时间了，他有足够的资格给出评论。就像你在海报上看到的，他是芝加哥最受欢迎的教授之一，他已经培养了29个博士生，此外，他还是Thurston最特别和最出色的的学生之一。在他的讲座中，也许你可以感受到Thurston的风格。今晚，他将告诉我们，怎样研究数学。他还会讲讲什么是好的数学，什么是坏的数学。研究中你需要知道什么，而不必知道什么。让我们欢迎！

非常感谢，感谢大家的到来。理真在48小时前说服我要做这个报告，所以这些幻灯片是我在48小时内做出的。理真鼓励我能够在这里面对所有的学生。对理真的话先做个简短的评注：配偶是丈夫或妻子，他们可以来，也可以离开，但是数学却总是在这里的。不论如何，表述观点的时候很难表现地不傻，所以，我想，标题最好改为“一个带有偏见的人的一些建议”，这个人当然是我，这才是我主要想讲述的。

Farb: 现在我要开始讲了，不过，首先，第一点是很明显的

断言1：每个数学家要做的第一件事就是找一条她自己的道路去走。

不过，听别人走的路也可以是有用的，并且事实上，我们在学生阶段总是忘记了自己到底在做什么，忘了去想数学本身的过程，忘了去想今晚我们会谈到的一些话题：数学很难，花大量时间在数学上好不好？一个人，应该花一点时间想想自己在做什么，自己要选择什么样的方向，这对于你一生都很重要，想想这个过程吧，去想一想。这是很有用的。

在数学中，我要简单提一下数学研究，不是数学。当然，二者区别并不大。我只有48小时时间（去准备），所以可能不是很有条理。好吧，让我开始吧，第一件事要说的是

A 听取顶级人士的建议

有很多已经被写成文的关于怎样成为好的研究生的建议。在一些顶级数学家，比如Ravil Vakil和Jordan Ellenberg的主页上，你可以找到很好的建议。我特别喜欢Ravil Vakil给出的如何参加报告的建议：大多数人，听报告听了五分钟后，发现自己不感兴趣，然后就干坐在那里，于是就浪费了55分钟。Vakil告诉你，其实你不必这样，有一个“游戏”：在每个报告中都尝试找出三个你能学到的东西。然后，你和你的朋友… 总之，这是很好的建议，这些材料你们可以自己去阅读，我非常鼓励你们去看看他们是怎么说的，他们都很能言善辩。

好的，我要说的第二点是

这是极其重要的，因为它讲决定你那持续四年，五年乃至六年的博士生涯，可能还会继续影响十年，乃至五十年。所以，你得仔细想想这件事。其中，我认为最重要的是

1. 选择一个真正能激励你干活的主题（使得你离不开它们）

也许你并不完全知道你身边的教授在做什么，你可能仅仅知道，这个教授做数论，那个教授做偏微（这是不够的），你要尝试了解他们的工作，读读他们文章的介绍部分。选择并不容易，因为你要基于并不全面的信息做出决定，而且是很大的决定。对此我的能说的就是：那很不幸，，就是这样，没有其他的办法。但是从根本上讲，你将会花大量时间在这种数学上面。举例来说，我开始读研究生的时候，我跟的是Wu-Chung Hsiang学K理论，但后来我完全转换了方向，因为我一直在思考“我的数学哲学是什么”，然后很多个人原因导致我去做Thurston做的东西。举例来说，虽然这个例子可能有点傻，我爱作为李群G的离散子群的符号”Γ”，我喜欢这种作为离散群的符号。你可能会觉得傻，但是，你要知道，从那时到现在，我写下Γ已经不下三十万次了，对于了解更多Γ的信息，我充满了热情。我是有些傻，但是我是认真的，它应该是发自内心的，换句话说，这纯粹是感情的作用。我总是跟我的学生说“一定要找一个能在你心中停留足够长时间的东西”，那么你将会每晚都会被这个东西包围，你睡不着的，因为你需要知道答案。如果你不这样做，你博士毕业的时候一定是失败的。比起 J.P Serre，我想没有人是足够聪明的，也没有人聪明到不需要整个晚上熬夜（因为你需要知道答案）就能做出伟大的数学工作。总之，这个问题很难一概而论，但是，你一定要尝试。

2. 你要选择你导师是其专家的领域

这个相当关键。这个问题很多人都很感兴趣，事实上，每天在mathoverflow上都有人讨论，对此我的朋友Matthew Emerton给出了很好的回答。你应该去看看这些回答。这是我侄子想出来的，他马上要去数学研究生院了。如果你对某个方向感兴趣，比如说数论中的二次型吧，那么不管你在哪个大学，你不能仅仅学二次型，你需要找个导师带你，你需要你们学校的教授。原因是，如果一个数学分支很活跃并且有好的数学家的话，它会前进的很快，这个团队知道很多大家不知道的东西。你的导师应该在这个团队中。选导师要注意很多，我不打算现在全部展开。你要找一个（学术上）活跃的人，这一点你可以从他的文章和其他很多东西看出来，但是今天我讲集中将：导师需要是这个领域的专家，因为不管他们做二次型还是谷山志村，或者微分拓扑，他们知道研究中正在发生什么。如果你在你的大学中独身一人，想去跟着（这个领域），你说我会给专家写邮件，你会读arvix，你会读书，你很努力，这些都不够。你可能会悲剧，因为你可能在做别人已经做过的工作或在研究大家都熟悉的东西。比如，Mark Kisin做他的东西的时候，你（也是这个方向）仅仅还去读Hartshorne...所以，这个确实是很重要的。这些都会把你的兴趣范围缩小。但愿你能找到与上述两点都符合的的教授，如果没有，那么恐怕你得离开你的学校。但是对于大多数人，你不能，这两点是相容的，你可以找到。

如果你什么问题，请随时打断。

3.你必须信任你的导师

除非你是百万中挑一的那种人，你甚至意识不到你是否是那种人。否则，如果你的导师让你学某种特别的东西，那么我想说，你可以问为什么，说出你的见解，但是，如果最终导师坚持让你学，那么你必须去学。否则，你无法拥有这个（师生）关系。我可以从导师的角度来讲：导师会放弃你的，我们都会放弃你，如果你不去听我的话，那么我无法帮助你，我不想浪费我的时间。如果你有什么争议，那么你可以去理论，我也会听，但是，当一天结束的时候，你还是得完成你的任务，因为我是老板。有时，你不明白为什么这个问题很有趣，你有权问导师，也应该问导师，但有时回答将是…你要有更广阔的的视野，手上的活不能停，最终你会看到它们的联系。你要相信这一点

导师是和你相伴一生的人。就在讲座开始五分钟前，确切的讲，在我跨入这扇门和坐在这里之间，我收到我之前一个学生的邮件，他是十二年前毕业的，现在已经是教授了。这层师生关系会伴随你众生，所以，（选导师）是个非常重大的决定。你要慎重。

这是我的导师，我和他的关系很不稳定，当然这是另一个故事了。当时，一言难尽，但我改变的当初的研究方向，我希望Thurston成为我的导师，他答应了。但是他是不怎么给学生问题的，当年他就给我了一个问题，但是，在很多周的挣扎（无进展）之后，他看了我的问题，告诉我“这其实是个很有名的开放问题。。。”，于是我就不再做他的问题了。他不是很擅长给学生问题，但是，不管怎么说，我开始做我自己的问题了，这个问题是关于双曲群的，我告诉他我在做这个问题，他说没问题，这是个不错的选择。他斜着眼，望着天空。当时我想弄懂双曲几何中李群的格，他说“哦，这就像一充满气泡的泡沫，气泡间有有界的相互作用”，我当时很单纯，我把他说的话都用笔记下来，我写着“泡沫，气泡。。。”见完面之后就去图书馆查文献。是的，我已经准备好了，我开始做我的问题，铅笔 “泡沫，气泡”。最初，我根本不知道怎么处理气泡，甚至连方程怎么列都不知道，但是，经过三年的痛苦和煎熬，我最终解决了这个问题。如果你要我给出我的论文的五个词作为概括，我可以说“泡沫，气泡，有界作用”，我的论文大体就是基于这些。他告诉我这足够了，我终于明白他说的了。

我想，如果在报告中讲这些东西，那么将会很有用，因为我有很多博士生。我相信研究生时期的工作是科研中最艰难的阶段，至少对我是这样，我不知道你们是不是这样。因为我这时对数学了解的最少，但我还得证明定理，现在我懂得更多数学，证明容易多了。所以做研究生是最难的。一般来说，很多问题迎面而来让你不做数学。但是，我相信你们都是聪明的，否则不会读博士。诚然，有的博士写的论文比另外的博士优秀，但是，真正的挑战是心理上的。你可能会遇到失望，可能会遇到瓶颈，甚至你会想我干嘛要做数学，我要服务于这个世界。虽然数学也是服务于世界的，当然这是另一个故事。这些困难你都要克服，当然，工作是很难的，没有人强迫你去工作，事实上，在美国，理论上你从现在开始三年啥也不干也没人管。每天工作很难，但一般你开始工作后你会喜欢它，但是你想逃离数学，因为它很难。所以，我觉得困难主要是心理上的。当初我就希望有人告诉我一些这方面的东西，让我生活容易些。

1. 让你的生活，呼吸，睡眠都被数学包围

你不应该做这个（数学）如果你不打算让你的生活，呼吸和睡眠都被数学包围。在芝加哥大学这种世界前五名的学校，也甚至有这样的学生，多年前，有个学生说“哦，夏天到了，我要回家，我准备好去过暑假生活了”——“你不能放假！你在说什么？你不能这样”，休息一周或两周是可以的，但是如果你不愿让自己泡在数学中，那你太傻了——学数学这么难，这么艰辛，为什么不去投资银行赚更多钱呢？我只是说，既然这么难，那你还是去挣钱好了。如果你不干活——我总是对我学生讲“我们给你付工资（研究生助教工作），你得工作，大多数人都从早上九点工作到下午五点，这样每周40个小时，这是底线，如果每周不足40小时，那么你是在坑你的学校——你拿了钱，但是不干事。” 当然，每周40小时肯定不够，你得额外花很多小时陪伴你的笔和纸。我想说，如果你只想成为没什么价值的数学家，那就每周工作40小时好了。当然，每周40小时也许会让你侥幸成功，但每周80个小时也许更现实些。相信我，我也知道拖延的毛病，我也知道那些电脑游戏，这些都可以作为你不做数学的借口，但是，一旦你开始做数学，你就不该这样。^这是对自己的一个测验吧，照照镜子，看看自己究竟在干什么并不容易。有一天，我决定了：每次我拿着笔，我（才算）在做数学，不要仅仅把书本放在面前——我在读，不只是在写。作为你，只读书不写下东西，那几乎就没用。我想，你应该一直去读，但是你也应该去解一些题目，试一些数学中的例子。

托马斯爱迪生说过：天才是1%的灵感和99%的汗水。

我想大多数人都听说过这个，爱迪生是历史上最伟大的发明家之一。汗水，那就是努力工作了。这句话在于阐述世上最明显的真理——努力工作。我想说，在数学中，我有另一个注记，这是我自己说的，来源于我的体会：

天才是1%的灵感，35%的汗水和64%的“强迫症”

当然，这“强迫症”是有用的，它让你离不开你从事的东西，让你专注于此。要点是，你不能休（太久）假，你不能做任何（其他）事情，就像精神病一样，你完全集中精力，你完全在想着它。也许你在看着某个人，点着头，但是其实你在想数学。我见到的好的数学家都有这种“强迫症”。

2. 不要仅仅去读，要写下东西——做习题

我很庆幸自己意识到了这一点。当我从Cornell本科毕业后，我去了Princeton，这真是个好地方。那是在1989年，我开始读Milnor的书《示性类》，于是我坐在河边，坐在瀑布边，去读Milnor的书，这里很美，很干净，到了最后，我学到了很多奇妙的东西——比如从流形的曲率张量构造陈类，“我学到了不可思议的美丽和精妙的数学”，但是，突然，我想到，最简单的例子，环面吧，它的示性类，它的stiefel–whitney类是什么？（“我不知道！”），我才意识到我做不了任何事，我啥也不懂。Milnor的书很干净，很漂亮，但是我啥也没写下来，我以为我什么都知道了，但我什么都不知道。我只知道名词，我只能把它们说出来。我会吹牛，在讲台上大讲一通，但是，我什么也做不了。我总是说，一天结束的时候，只有纸和笔，一个便签本，是的，只有这些，剩下的bullshit都是没有用的——只有这些是你能用的，只有这些是你能用来证明问题用的。如果我不能用我掌握的陈类在黑板上做什么，那就完全没有用。仅仅去读，那么你什么也做不了。仅仅去读的坏习惯也是很难抗拒的，因为这样学起来有趣（很轻松），你可以学什么高阶K理论，无穷范畴或者拓扑量子场论，但是，你能计算哪些呢？如果你不能在黑板上验算，那么…

我记得我有一个学生，他说“你的微分拓扑的课我想在课上睡觉（不想听了）”，我说“来我的办公室吧，我给你一个口试，看看最基本的内容你掌握了没有。”于是我问他“什么是Morse函数，请定义Morse函数”，Milnor写过一本很好的关于Morse理论的书，在这本书的第1页，讲Morse函数之前，它画了一个很漂亮的插图，这图中有个环面，有高度函数，梯度流，和四个临界点，这是一张很漂亮的图。我说“好的，告诉我什么是Morse 函数”，这大概在Milnor的书的第二页，然后他说：“是的，这个东西很玄妙。。。”我打断了他“我不需要知道它玄妙不玄妙，我也不想听它的哲学，请你在黑板上写出它的定义”，其实，这也就是关于函数的微分的，但是他写不出。那么它的价值就是零了，甚至价值是负的。欺骗自己是很容易的。我们欺骗自己，因为我们不希望自己一无是处。所以我才说，我们总是欺骗自己。因为欺骗自己很容易，请注意，它很容易，并且人的天性总是喜欢走容易的路。部分检验自己的方式就是做习题，选出一本书吧。我看到你们在座的有人拿着Hartshorne，我鼓励你们把它的习题全做了，我很高兴看到这书已经有些破了，它不像是新的，它像是用过的，我希望你们能够把Hartshorne的习题都做了。没有什么像拿起一本书，做完所有习题一样，可以让我们对这个世界感觉这么棒。这时你的书已经烂了，沾满了咖啡渍。从来没有其它感觉和这一样，这（做习题）是一个简单易行的检验，激励自己的方法。

3. 每周，都花十分钟照照镜子看看自己

当然，这只是字面意思，在座各位应该都明白。确切的说，我不需要你真的对着镜子照自己。我只是希望你认清真实的情况，比如我当初没有真正在读Milnor的《示性类》这本书。我只是在浪费时间，浪费自己的生命。这很难，但是你一定要去尝试——比如问问自己“我能通过切空间将曲面参数化吗？”下面这句话你可以问问自己“我这周学到了什么？”我要求我的学生每周给我写邮件，并且每两周我会和他们见几个小时的面。当然，每周，我都允许你说“我什么也没做”，我不会朝你喊叫的，我只会让你有点小不安，如果他两周都什么也没做到，也许他们永远也不会做到了。我会让他们意识到“我这一周啥也没学到”…总之，每周都要去学一个东西。我喜欢这个练习，因为它简易可行。紧接着，要问问自己“我学到了什么新工具？”你需要学工具，你不能光是乱写乱画，我总是说，你一个月应该学会一个新的，大的，困难的工具，当然，这目标可能有点太高了。最后，还要问问自己“我学了多少个小时？”，再一次的，人们拿我和我的学生开玩笑，关于教授的工作，我们也开玩笑，我不是说一定得怎么样，但是，你现在在这里（用手指着黑板上较低的位置），以你现在进步的速度，你可以达到这里（用手指指着稍微靠上的位置），但是我需要你达到这个位置（用手指着远比刚才高的位置），你得做点什么，你得改变！你要提升你的进步的速度。当然，确切的讲，没有捷径，没有捷径的。再一次，我要说“真正的挑战在于：要对自己诚实。”要对自己诚实。

在证明定理的时候，有无数次，我都希望定理是对的，但是我发现我回避了问题，我没有发掘出最关键的东西，这很难。在这里，我不是自嘲。现在，我要给出关于你能学多少的一个规律。你现在在这里（手指较低位置），我想，要想成为一个像样的数学家，你至少得到这里（手指较高位置），以你现在的学习速度，你不可能达到这个位置。可能你在讲座中听到什么时，或者读书时，你会说“我无法把它们都学会。”你说对了，如果你仅仅维持现在的速度，你不可能把它们全掌握。有一件事我得说：我确实见过一些不怎么有志向的人，有一句话叫“如果你朝着中等水平努力，你就能成功。”所以你需要对你学习能力的观念进行改变，以下是我给出的性质。你要相信我，这是真的，这绝对是真的，我没有夸张。

X=你认为你能在一个月能学的东西

Y=你实际上一个月能学的东西

断言1在把X换成Y后仍然成立

当然，我想说，这个确实因人而异。有人学东西的速度确实是一成不变得，当然，这些人就不能再继续做数学了。我想对于很多人，为什么他们学不到呢..首先，Y=2X

你完全可以学你认为你能学到的两倍的东西，如果你不去试的话…我说“学”，我是指一张纸，一个笔记本，每天用完一百张草稿纸。我有个学生，他说“我没法再跟你读了”我说“你只是达到了最低标准，你得改变”，于是我跟他说“这本书，拿去，把所有题目做了”，于是，他后来给了我一个75页的文档——他完成了书中的所有习题，是的，他一周就完成了。“哦，天哪，真没想到，居然做到了！”他开始认为他一定做不到的。我说我确定你能做到。现在，他已经写了15篇论文了，他是一个很好的数学家。

下面说第二件事，当你完成的时候，你说“我能做到2X了，但也就2X了”，你又错了，你能学的还可以再加倍。这样可以一直进行下去。你总能学得更多。

你就把它记牢了。当我再读研究生的时候——我本科在Cornell读的——它是个很好的学校，有很多聪明的研究生。聪明的研究生。但Cornell和Princeton的学生区别在于，后者的学生总是尝试着同时学海量的东西，当然他们不是像我读Milnor的书那样仅仅快速翻着书页，他们是要尝试着去做Hartshorne的所有习题的，我想说那时很多Cornell的学生是很聪明的，但是当有人提到“我们学这本书吧，并且做它的习题”时，回应总是“天哪，我们不可能做到”，现在回想起来，我们有能力学相当于那时学的五倍的内容，但问题在于我们总是不去尝试。如果不去尝试，就不可能达到这个更高的水平。

1.信任你的导师，她最懂行

刚才已经基本上谈过这个了，你总需要某个人对你的指导，如果你不相信某人，你应该另选他人。别无他法，你一定要信任你的导师。你不能靠你一个人完成学业，你不能。

2. 整体框架和细节都要学

从科学的角度讲，这也是对的。我和很多人，甚至是博士后谈，我问他“你的论文在做什么”，他说一堆抽象的东西，“为什么你要做这个？”“~~我不知道！”那你为什么对它感兴趣呢？你要去学整体框架，即使这不是你的论文的主要任务。在历史上，Serre和Tate都写出了很好的博士论文，其他人的论文水平就相对来说比较一般。你处在这个大框架中，这是个巨大的拼图，当然你做的不必是这个拼图最大的一块——这只是你科研的第一步。你要明白大框架是什么，否则你都无法给你的学生解释为什么你喜欢它，我经常和我的学生说起这个，这很重要。我当然知道细节可以使很复杂的，如果你的导师在做minimum program，天哪，这其中有太多的数学，这非常难，你在做非常专的工作，但你还要学习大的框架，这可能不会很有趣，但是不这样的话，如果你害怕大框架的话，你就无法证明大定理，并且，你永远无法和他人交流你在做什么，而这正是你需要做的，尤其是在年轻的时候，更是需要交流。因为你需要找工作，而交流就是最重要的一部分。当然了，仅仅研究每个细节是不足以让你了解整个大框架的。一个人不和别人合作的话，是不会有大出息的。再讲另一个学生常犯的错误，我以前有个学生，他的名字我还记得，我说“Justin，你试试算下这个，我想可以这样算”，然后学生说“我两周后来见您”，两周后，学生回来了，说我的方法行不通，并解释了一下。但是，解释我的方法行不通最多只需30秒。我于是说“发现这个最多花了你5分钟时间吧，你有没有尝试其它方法？”“没有。”“那你这两周都干什么去了？！”…我想说的是，数学很难，我有的学生过于迷恋细节，而有的人如果一次不行，就不愿再试。我有一次被一个问题挂住了，我花了一周时间去想不可定向的情形，因为文章没有说可定向，可能这根本无所谓的，写文章的家伙估计是忘了，你认为这个细节会有多要紧呢？这一点很重要，如果你要证一个篇幅十页，甚至三十页，四十页，五十页，六十页的定理，你一定要有一个整体框架。你要能说出：“这其中有五个主要步骤，第一步是…”，你需要把它们拆分。

当然，目前来说，你还是需要检验每个细节，但是

4. 记住每个细节太难，要掌握主要思想

你要检验细节，但很难全记住它们。写下证明大意是学数学的好方法。我读研究生的时候，写下了海量数学定理的证明大意，当然了，只是写主要思想。

我们都见过，当我们面对一个困难的问题的时候，我们要么变换基，要么变换坐标，或者用Mobius变换，其中最有名的是…我忘了定理了，但我记得思想，但是没关系了，因为思想更重要。我只记得是先画一个圆，然后呢？再画一个圆和它相切，然后（再一个）…也许和两个都相切。然后关于它有个定理，我忘了定理了，我不在乎，我只记得它玩的什么把戏。外面的圆记为l，里面的圆记为l’，用一个Mobius变换…这两个圆切于一点。在黎曼球面上…我可以用一个Mobius变换，把l变成这个，把l’变成这个（直线）。然后…我忘了定理了，但这已经显然了。另一件事是，你要记住：

全纯映射趋于让距离不增

当我说“趋于”，我是指它取决于映射从哪里映到哪里，这并不总是真的，你要了解这一点。这东西我最近才意识到，并且开始使用它，虽然我不是这方面的专家。我知道这个思想，并且我需要一些东西它是让距离不增的。哦，等等，如果我能让它是全纯的，那就对了，这个很有用。你知道我要说什么对吧。当然，你需要知道每个细节在讲什么，但是，我现在就可以给你重新叙述出来。

所以，我认为记住核心思想是学习数学的好方法，比如，你现在要让我证明Thurston的hyperbolization theorem，我可以列出提纲，甚至下一级。就像网页一样，比如我想了解双曲结构，你可以点开五个步骤中的任何一个，你想知道Mostow’s Rigidity, 那就是另外五个步骤了。如果你对其中任何一个感兴趣，你可以点开它，我可以给你讲这五个步骤，甚至下一级。当然，现在，我记不得所有细节。这（写提纲）很重要，因为细节太多了，（全记住）你会被压垮的。

要研究基本的例子。你需要：

了解基本的例子胜过你了解你的女朋友/男朋友

当然，在座的可能有人已经结婚了，那么你不该有男朋友或女朋友了~我想说的是，现在就开始花时间研究基本的例子吧，我是指非常基本的。我的博士论文是关于负曲率流形的，低维…双曲流形，秘密是什么呢？别告诉别人啊~我对去掉一个点的环面的双曲结构超级了解！当我弄懂这个的时候，一般情形也就迎刃而解了。当然（其他情形）会有一些不同，但是这仍然很有用。我曾花了大量时间去画和这个曲面相关的图。例子越简单越好，我想说的是…当我到Chicago的时候，我就致力于把Thurston的一些思想用于了解半单李群中的很多东西，Chicago是世界上这方面的中心，还有super-rigidity和其他玄妙的东西。我和哪里的学生和博后去交流，然后我们讨论各种深奥的数学，这些深奥的数学都是我想去学的。比如与半单李群相关的，这里面包含着大量的东西。但是我发现他们（对一些东西）没感觉，三维李群，这是很初等的东西，但是我非常致力于这些。我的研究均基于此。至于结构，我可以以后再学，但是我终究学会了。

b．手中要有一大堆东西（解决问题的基本元素），验证每一项不满足它的叙述

Feynman，我从他这里学到的，他是前一个世纪最伟大的科学家。他说，他总是学例子，他手边总有一大堆例子，然后检验与之对立的叙述。他说…他总是让人印象深刻，因为别人总是说：来，我们来取一个有全纯向量场的Kahler流形…但是Feynman总是找简单的惊人的例子：环面。他也总说“不，这里有个反例的”“哇塞，太不可思议了”——其实不是的，这就在他手边。这完全是第一位的（检查反例！），这也是个很大的陷阱。我完全感受到了这一点。你知道吗，我尝试着从这里走到那里，并且到处都是地雷，如果我踩中了一个，那么我死定了，另外，如果我工作地不够，我也死定了。就是这么回事儿，这也是很棒的一件事。

C．没有例子太容易了。不要对自己的自负过于担心。

当我是学生的时候，我换了方向，哦，天哪，我完全不懂几何。我的论文是关于几何的，微分几何的。这就是我为啥这样说——我得从平面曲线开始学起。曲线的曲率，叫做二阶导（做出说悄悄话的样子，意思是当时自己很弱，连这都不懂），然后我就一直和它打交道，然后我的Princeton的同学就取笑我：“我们都在搞模空间，你居然（还在搞这么初等的东西）…你在搞笑吗？”但是，不知为什么，我没有让这些话影响我，我很自负。那些同学的话触碰了我的自尊。他们都在做时髦的东西，但是到了最后，要知道，虽然当时有很多优秀的对手，但我还是第一个证明了这个定理。自负是一回事，但是我真的对曲率非常了解，如果不懂平面上曲线的曲率…你在写关于曲率的论文，关于Kahler流形的双全纯截面曲率，如果你不知道平面曲线的曲率，你能发现什么呢？你能做什么呢？你除了玩符号，啥也干不了。你无法证明定理的。

在一天结束的时候，只有你，一张纸，没有隐藏之处（很不幸，虽然我希望有）。（意思是，你要是没弄懂，那谁也骗不了）

你的理解…只有你和纸…如果你不理解平面的曲线，你在自欺欺人，你什么也证明不了。当然，你可以暂时把它敷衍过去，但是，你还是得证明定理啊。那么这时候，你的自负有什么意义？（意思是，你想自负，可以，但基本的东西得弄懂）

你是人，数学很干净，你希望你做的数学是完全干净的。但是，你要知道，我们都热爱数学，但是你不该感到糟糕，你应该关注一下别人，这是人的天性（？？）。首先你要学会的是：

尽量多地向其他同学学习

所有人中，我向一个比我大一届的研究生学地东西最多。我不停地提高，我总是和他在讨论，并且我也教给他一些东西，不过我不记得教了哪些…但是你的教授们，你不可能总是和他们在一起。但是你的同学就不一样了，你可以和他们每天都讨论甚至六小时，你可以向他们学习。当然，有的情况很棘手，导师有两个学生，导师认为另一个学生好（比你可以请教的）——太糟了，其实你还是可以学的，这是非常好的资源。总之，向其他同学学习。

模仿大数学家的风格，但也要发展自己的风格

（暂时）没有风格不是错。如果你只是一年级的学生，当然你没有自己的风格了，因为你尚且不懂数学，尚且不懂科研方法，你是从零开始的。我想，最快的方法是选定一个大数学家，模仿他。当然对于这些大数学家，你不应该仅仅继承他们，成为他们的小小的复制品。我想，模仿他们（大数学家）的风格是非常好的，学他们的风格，他们做的数学.

3. 不管你比别人差多少，也不要担心（这是本文最出彩的地方）

这一点很难做到。我有个学生，他很小的时候就成了我的学生，很明显地我能觉察到…在同一时间，我还有七个学生，他们都情不自禁地觉得这个小家伙比他们强太多了。我能看到他们的自信心受打击了。对此，我能说的不多，除了：

a．你无资格评价你自己（也许也无资格评价他人）

也许，你不像你想象中那样坏，也不像想象中那么好。当然，有的人确实相当好。当然，你是人，你要注意…这并不是…你得接受它。你得…我想说：

b． 对此，你无能为力

所以，你最好适应它，学会以这样的方式生存。我去Princeton最大的收获就是…我本科的时候，我获得了“最佳本科生”的荣誉，我暗暗觉得“我真了不起呢！”。但是，当我到了Princeton，一天之内，我就发现我简直糟透了，我跟他们比起来啥也不是，这些人的级别实在是…后来成为了Thurston的学生，我感到之前一切的光环都被剥夺了。这段时间确实非常艰难，但我还是克服了这些困难。你知道事实如何吗？

c． 世上总会有人比你强好几个档次。现在就适应它吧。

对，就是现在！事实上，很有趣的是，即使是菲尔兹奖得主，也能决出个世界前五，他们还可以和他们的前人进行比较，这种比较是无休止的。所以，我现在要给你们讲个故事，你们知道Mozart和Salieri吗？你知道Salieri是谁吗？有个电影叫《莫扎特传》，是关于Mozart的：Mozart是天才，Salieri相比要平庸的多，但是他也足够优秀，因为只有他能明白Mozart有多么地天才。每次他见到Mozart，他就很痛苦，因为相比之下他只是庸才。所以，我的父母…当我的事业开始起步的时候，我做地还不错，我的父母就很兴奋地对我说：“Benson，你准备好拿菲尔兹奖了吗？”“不不不…这个圈子里面有一票人呢，我不是最好的之一，跟最好的人比起来我只是个笨蛋，但是…”我说道“我是Salieri，至少我能欣赏最优秀的人的工作，我不是他们的一份子，但我至少能欣赏。”然后，有好几年，我都这样告诉自己“我是Salieri”，感觉也还不错呢。

但是后来，我参加了Thurston的生日晚会，（在场的人中）最出色的数学家之一是Dennis Sullivan，他站起来说：“我之前觉得自己是世上最出色的的拓扑学家，当时我是Berkeley的教授，我以为我是Mozart，然后有一次，我做一个报告，一个研究生举起手来，说他有个反例”，于是他把这个研究生带上讲台，然后他开始画一些图…“我的下巴快掉了（惊呆了），我知道了两件事，第一件事是这是我接触的第一个纯几何的论述，第二，我意识到自己不是Mozart，他才是，那个人就是…Thurston！”，当然，Dennis说的第二件事暗示我，我不是Salieri…我把这件事跟一群人讲过，就跟今天这样，有人就笑了，我问他为什么笑，他说“Benson，你知道吗？我一直以为我是Salieri，我现在听了Dennis说了这些，我意识到我不是Salieri”，然后，我（Benson）进一步意识到我甚至连能欣赏Salieri的人都算不上。这个故事今天就不继续讲了。总之，人的档次是分了太多层的。你要习惯它。

好消息是：你仍然可以探索出许多东西，做出贡献

那些大牛们也是人，他们不可能把所有问题都做了。所以这是个好消息：你仍然可以探索出许多东西，做出贡献。我听到有些人说：“我不是最优秀的，我做不到这个，我需要离开数学吗？”我的回答是：“你知道吗，你确实不是最优秀的，我可以跟你明说，但是，在这里没有人是最优秀的。”我不知道谁才是。

我觉得数学品味是特别重要的，你要发展出自己的品味，也就是什么是好的数学，什么是坏的数学。当然，这是由你决定的。没有书上告诉你什么是正确答案，我想说“没有正确答案的”。但是，它（好的数学）就在那里啊，我不能定义（什么是好的数学），但是就像Thurgood Marshall那样，这人是美国著名法官，当时他正在处理关于色情图片的案子。你知道这个词吧？色情图片？…Thurgood Marshall和律师说：“请定义它（色情图片）”，然后他又说：“我无法定义它，但是它（色情图片）就在眼前啊！”数学也是这样。当然，你可以和伟大的人学习他们的品味。

1. 发展自己的品味，但也应当受到伟大的人的影响

发展好的品味最简单的方法就是接受伟大数学家的影响，然后发展自己的风格。以下列出一些伟大的人：Serre, Milnor, Thurston, McMullen…他们写的东西都很好，他们的数学我认为那就都是好的数学。当然，这绝对是带有偏见的，因为我的兴趣在几何跟拓扑上…Serre也是，他们都特别善于写东西。他们的数学我想我都可以定义为好的数学。

2. 一旦你开始做一个问题，你就应该问问自己：

“这个问题是否有意思？”“这个问题在整体大框架中扮演什么角色？”

最后，关于我想说的关于如果做研究生的总结是

总结：（数学）这条路很难，这条路毫无疑问非常非常难。但是，我也完全相信下面的定理：

定理3：任何值得去做的事情都很难

对，每件值得去做的事情都很难。当然，这不像是旅程，旅程结束了，也就显得不重要了，我喜欢这个过程。当然，我不喜欢爬山…我很懒的，我是指在身体上，不是精神上… 总之，每件值得去做的事情都很难，所以它才值得去做，数学就是这样的。

II．关于如何做研究的个人观点

有没有关于“作为博士生”这一块儿的问题？

这一节要短得多，我将在五分钟内讲完（虽然他最后没有）。不不不，应该是一个关于“什么才是足够好”的一个正确的见解。就什么是好的数学而言：

就什么是好的数学而言，我想，你应该把精力花在你认为是好的和重要的数学上，如果你不这样，你就做不了好的数学。很重要的抉择是：抽象vs具体。具体，就是很明显，有例子，抽象就是抽象

1. 不要被花哨的名词牵着鼻子走

有一些Chicago的学生，学一些很花哨的东西，它很抽象。我就对学生说，你能说成其中一个定理吗？他做不到——那你干嘛喜欢这个东西，你连一个定理都说不出来？！

以下是一个小测验，如果你在从事一个学科，那你至少应该能说出一个你喜欢的定理吧。比如，你要研究代数拓扑的话，那么你很可能会说出Lefschetz不动点定理，至少它算是比较好的吧。如果你研究离散子群，可能你会说出Mostow刚性定理。在座各位，你们看到Cantor的对角线证法，有多少人不认为自己的人生焕然一新了呢？有谁的人生没有被此征服呢？我相信你们都是这样，否则大家就不会来这里了。

当然，我相信如果你压根不喜欢这种数学，那也就只能这样了。但是，仅仅有名词会很让人感到无聊，哪怕它可能很有趣。一个理论，如果它不能阐明基本例子的话，它就是完全没有用的。 完全没用！

Grothendieck，他是非常不可思议并具有影响力的数学家。但是，他也让很多人误会了，因为很多人认为他建立了一套完全抽象，没什么例子的理论——大错特错，这完全是误解！他其实是在尝试推广非常特殊且具体的例子，一旦理论发展了，他就不再去想具体的例子了，比如发展Scheme的时候。但是，他发展etale上同调确实是为了解决Weil猜想这个非常具体的问题——代数簇的数点问题。Grothendieck不是仅仅依附于抽象的东西之上的。人们总是说：“啊，我要成为Grothendieck”…这些人，你们知道…

但是，当然了：一个随意给出的定理就像是弹钢琴的猴子（有时你会挺好动听的东西，但是，整体来看，它不会很深刻）

就像四十年前那样，有很多非常有趣的数学问题，你在八年级的时候就可以考虑它。会有无穷多的东西出现在脑海中…每个例子都应该阐明理论，每个理论也应该阐明例子。你一定要非常仔细地尝试。记住以下这句话是有益的：数学是用来发现，解释并理解现象的。一些有趣的事情发生了，我教了一门迷你课程，是关于Euler示性类的余不变性的，观察到一些…一些数的出现，这和有限群论有关，还有相关的，比如模形式。

有一种现象，大家看文章，看什么quasi, n-category（花哨的东西）…这能阐明什么例子呢？你能告诉我什么呢？有什么例子呢？你能拿它做什么呢？你对此有什么理解？——啥也没有！

关于你是不是仅仅在玩弄符号，以下有两个快速检验方法

我是向Thurston学到的这个。首先，访问一下Mathoverflow这个网站，如果你还不知道的话。你去看看Thurston关于此说的话，当时他已经过了科研的高峰期了，但是他还在和数学打交道。他让我感到我就是仅仅在玩弄符号。事实上，他经常遇到一些数学中的对象，他编了一个电脑程序来研究他想处理的东西，他确实把数学对象的性质发掘地很深，而不仅仅是为了证明定理。就是这么回事。以下是这两个检验方法：

你的理论是不是仅仅证明了一个旧定理？

关于一些基本例子，你的理论能不能说出一些以前没有的东西（比如观点，认识）？

这是个很方便的检验方法。我想说的是有很多当下流行的数学都不满足这些。几百页的论文，我想说…很多人都在3-流形上定义了很多东西，我不做3-流形，但我知道Thurston对此的方法，他的方法解决了几乎所有的问题，大量的问题。而人们总是在定义花哨的不变量。去年我参加了一个报告，一个人定义了一个非常花哨的不变量，有点让人讨厌。我思考着，坐下来：这东西难道不是说…人们总是单单把花哨的东西往上贴，他说：“是的，这些不变量可以分类所有扭结…”我于是举起手说“你能否给我一个2-knot的例子？”

我给本科生上课的时候…三叶结是一个非平凡的扭结，对吧，为什么？关于此有一套理论，二年级学生就能理解。我跟他说：“你这文章七十页，是个很大的理论，那你的理论能分出三叶结吗？”“不能”… 我的意思是，这不是个孤立的定理，这是个整体。这些花哨的东西，我不明白情况为什么如此极端，如此多的人去做它们，其中还有一些很有名的数学家。我真的很想与之争辩，这实在太极端了。很多学生也被引诱于此。我想说：这到底是什么？我喜欢它吗？也许本科的时候，我会喜欢这个吧，事实上，本科生们总是被诱导着去学习最糟糕的的数学了。我不知道为什么会这样。抱歉…对于这个问题的回答，我的要求很低，你只需要告诉我三叶结是不是平凡的就行了。对吧，二年级的学生也会做。

这一理论让我们对已有的东西有新的理解

我不知道现在什么时间，但是，我想讲一些让我非常兴奋的东西。这几年，我一直在演讲模空间M_g，非常玄妙的东西，其中g是Riemann曲面的亏格。这个东西在数学中很基本，也很fancy。有个东西叫Euler Class，它属于S^1的微分同胚群的分类空间的第二个上同调群。它给出了非常fancy的代数几何，这个（Euler Class）完全给出了这些东西。最近吧，六个月以内，我才意识到，这个Euler Class，如果限制到…Z/10，这个群作用在圆周上，二阶同调类是…映射P：Z/10× Z/10——>Z。我不是在讲什么大定理，但是，我想跟你说的是…你可能要我为啥我要考虑Z/10对吧。这是因为…fancy的东西大家都在讲，我就不说了，我就把注意力集中在Z/10，这个东西我们最早在一年级就学过了，这叫做“进位闭上链”，它是取了两个数a，b，组成一个数对儿(a,b)，如果a+b大于9，那么就映到1，,a+b小于等于9的话就映到0，Z/10的元素就是指0到9的数字，这是个闭上链。于是，我回过头来，我看到了进位，我可以看到我一年级学到的东西，我也能看到Euler Class。对我来说…在这里我不是在讲数学，我只是想阐释我们都熟悉的容易的东西。但是我喜欢这个，因为它确确实实是Euler Class，它确实告诉我一些关于进位的东西，我也真的见到了Euler Class。它真的回溯到了加法！

我们总是忘了一些东西。你是否知道你在高中学的数学，以及你甚至Princeton的教授正在从事的东西，本质上是一回事呢？我们忘了，因为我们光忙着做模空间的上同调了，但是真正大数学家做的真正好的数学，比如Sullivan的，比如Serre的，比如Milnor的，他们的数学总是回溯到初等的东西的，他们的数学能回溯到微积分，回溯到线性代数。他们想的（意思是回溯到的东西）比我的简单的多，这也就是他们比我强的原因。不论如何，对我来说，这是好数学的一个标志。想想这个东西回溯到了什么？对此我非常兴奋，因为我意识到Euer Class这个东西真了不起。作为流形上圆丛的不变量，你可以看到进位。

最后，我打算快速地举上两个好的例子。考虑到这里有一些本科生，我打算讲一些大家都知道的。

这是个关于微分形式的非常有名的定理，为什么它伟大呢？因为它真的非常一般。

1.两边都是可以计算的

你可以使用它，这在每个例子中都是很有趣的。

2． 它蕴含了三个伟大的定理，这三个定理我们之前在不同的背景中已经见过了(Gauss, Green, Stokes)。

下面的例子值得说很多。

1. 这是个伟大的定理，它在每个例子中都有丰富的内容（圆盘，2维球面，Calabi-Yau流形）

2. 它联系了数学中很多不同的分支。

你能计算一些东西。这是另一个让我感到惊讶的。

人们给出定义，事实上，你可以给出无穷多定义，但是如果你不能拿它做点计算，那真的是毫无意义的。抱歉，我真的很想说，因为很多数学都是这样。甚至很多聪明的人也这样干。好，那么第四点是

1. 很多聪明的人已经做了大量的工作，如果你忽略这些，那么你之后做重复前人的工作

做这种决定总是很难的，“我要自己去学”“我不需要别人”，这太愚蠢了，你什么做不到，你知道为什么吗？因为你不这样做，会有很多其他聪明的人这样做。你需要知道他们在做什么。

2. 已经说过了，（对别人的工作）不必太毕恭毕敬，说不定你可以做的更好呢。你应该以自己的方式理解问题。

总之，不要太毕恭毕敬，最好以自己的方式理解问题。我最喜欢的书…

1和2矛盾吗？我想最好的回答是下面这句话，它摘自《浮士德》

那些你的父辈们遗赠给你的，如果你想拥有它们，你还是应该重新自己获得。

我不知道这句话对于非英语母语者，这会不会很难懂？因为它是从德语翻译来的。就是说，那些你的父辈们遗赠给我们的东西，比如数学知识，比如Gauss-Bonnet定理的证明，所有这些，我们之前的大数学家都已经遗赠给我们了。但你应该凭自己的努力去获得，就好比它们是全新的一样。如果你需要Gauss-Bonnet定理的证明，你从书上获得点提示就好，如果可以的话，最好自己去证明。这本书对我来说很有意义，因为当时我第一次和Thurston做定理，那是Mostow刚性定理高阶情形的另证，当然也推广了一些。但是我们俩都不知道Mostow的猜想，我们只需要纲要。我们确实用了很多Mostow的东西，但我们并不知道他具体怎么证的，但我还是自己完成了，我现在就可以给你证明。这很有意义，这也是上面问题（1和2矛盾吗）的回答。

顺便说下，这一点我也在《厨艺之乐》这本书的第一页学到了，当然我没有读过，我“假装”读过吧…

3. 尽量多地和他人讨论，在你遇到瓶颈的时候请假专家（哪怕你没有遇到瓶颈）

我有个非常害羞的学生，他正在做一个问题，然后这个领域的世界做的最好的人来访问，我告诉他“把你的问题和他讨论下”，两周后，我问他“你有没有和他谈？”“没有。”我回答道“太糟了，如果你24小时内再不和他讨论，那你就别做我的学生了！”如果你很害羞，我的回答是“太糟了，你得和人讨论啊，你遇到瓶颈的时候应该请教专家！”我的学生说了，“这算不算一种‘欺骗’呢，你在研究一个问题，问专家就有点欺骗的成分了——很明显，你应该自食其力搞定它”，但是，你真的遇到瓶颈了啊，你该怎么办？对于我，即使我遇到一个简单的表示论的问题，我也会写给Drinfeld请教他。

所以，我的回答是：数学很难，如果可以的话，那就“欺骗”吧~

因为它很难，所以我说你可以去“欺骗”，再说一件事：

我想说，纯粹为了开心有点过分了，（纯粹为了开心）那不是我做数学的原因，当然，做数学确实让我快乐。我们每个人做数学都有原因，对我来说，一切生活都是和成长相关的，并非为了快乐，虽然我愿意变得快乐。你得找到自己做数学的理由。我不打算把它讲得更复杂了，总之，快乐是好事啊。我就讲到这里，谢谢！

侧重点可能不是数学研究，可能是从博士跨入数学研究阶段一些方法。值得一读。

距离四级考试仅剩下半个月的时间，很多人越是在这个时候，越紧张，不知道该做什么，这个时候其实可以抓住基础的事情。今天我们为大家整理了大学英语四级词汇表，一起来看一下吧。

byhand用手;用手工的　 inhand现有在手头;在进行中

handon传下来，依次传递　　 handout分派;把…拿出来

headon迎面地，正面地　　 headup在…上加盖子

asitis事实上，既然如此　　 asitwere似乎，可以说是

keepoff避开;不让…接近 　　keepon继续进行，反复地做

layover涂，覆盖;压倒 　　layup贮存，储蓄;暂停使用

leadto通向，导致;引起 　　leadupto把…一直带领到;导致

liveoff住在…之外;靠…生活 　　liveon靠…生活;以…为食

agoodmany大量的，许多，相当多　　 manya许多的，一个又一个的

takepains尽力，努力，下苦功　　 inpart在某种程度上;部份地

putin花费;正式提出　　 putoff推迟，拖延;阻碍

seeto负责，注意，照料 seethat要注意使…;务必使…

siton为…的成员;压制 situp迟睡，熬夜;坐正

takeup占去，占据;开始从事 taketo开始;对…产生好感

windup结束，停止;卷紧 wipeout把…的里面擦洗干净

英语四级常见易混淆近义词

lackn.缺少，没有(信心，经验)

wantn.需要，缺乏(知识，关心)

exactadj.(数字、细节)与事实/标准相符的,确切的

stickvi坚持,粘着(原先的立场、主张、承诺等~to)

regionn.(与某天然色、气候相关的)地区,大行政区

zonen.(与地理上、军事、政治、商业等相关的)区

17.aidv.(急需的、经济等方面的)援助

assistv.(辅助、次要的)协助,起助手作用

helpv.(精神、物质上)帮助(以达到某种目的)

18.aimn.(军事,体育)目的,目标,明确的奋斗目标

objectiven.(具体、直接、很快可达到的)目标,目的

shiftvt.变换(档,速,位置);(并非出于自愿的)改变,更换,转移

astonishv.(对无法理解、解释之事的)震惊

以上就是为大家整理的大学英语四级词汇表的相关内容，希望能够对大家有所帮助。四级备考，词汇是基础，只有词汇量达到了，阅读、听力以及写作提高起来才会比较快。