• 21:21:03 感谢硕士生伊国辉整理此文

• 09:14:23 增加不同晶系代码. 感谢 吴俊彦 校对格公式.

各向异性广泛存在各种材料之中. 什么是各向异性呢? 简单来说, 就是晶体在不同方向有不同的性能. 我们很容易把各向异性和不均匀性混淆, 其实这是两个完全不同的概念. 各向异性就是说材料的性能与方向有关, 而不均匀性是指材料的性能与部位有关. 拿单晶来说, 内部任一点, 结构与性能都是相同的, 但不同方向却有不同的性能$.$

晶体是各向异性的, 不同方向性能不一样, 而且有着严格的对称性. 这里要说一下, 对称性是一个很了不起的性质, 在数学, 物理学中都有着广泛的应用, 而且在材料性质的分析中也常用到. 多晶材料存在择优取向, 也有一定的各向异性.

各种材料都有弹性, 大多数材料的弹性性质也具有各向异性. 例如, 在立方晶体中[111]方向通常比[100]方向更难压缩(stiff). 当我们对材料施加载荷, 材料会发生相应的形变, 在弹性范围内, 形变遵循胡克(Hook)定律, 即应力与应变是线性关系, 可以表示为

材料不同方向上弹性模量不同, 我们怎么描述这种不同呢? 最好用数学方法, 建立数学框架, 准确直观地将弹性各项异性描述出来. 下面我们就进行这种数学的描述. 本人数学水平有限, 不能一步一步推导, 但我们可以简要理解一下推导过程. 弹性各项异性的推导就是利用张量和群论推广胡克定律. 我们先只考虑低阶弹性常数. 考虑二阶的 <span class="MathJax"

写为矩阵元素加和的形式为

一种较对称, 方便推导的形式为

这三种不同的表达形式, 可根据需要选择使用.

不同晶系的杨氏弹性模量

上面杨氏弹性模量的公式有些复杂, 好在除三斜晶系外, 大多数晶体都具有对称性. 考虑到晶体的对称性, 某些弹性常数必定为零, 而某些则相等, 所以对具有对称性的晶体, 相应的的杨氏模量公式简单些. 下面两张图总结了不同晶系刚度矩阵和柔顺矩阵的特点, 以及不同晶系杨氏弹性模量的公式, 后者为许多文献所引用.

三斜晶系是所有七大晶系中对称性最低的晶系, 因此拥有最多的独立矩阵元, 其形式为:

共有21个独立的矩阵元, 杨氏模量

考虑对称性后, 单斜晶系有13个独立的矩阵单元:

正交晶系拥有相当高的对称性, 其独立矩阵元的数目为9个.

六方晶系共有5个独立的矩阵元.

对于立方晶体, 我们可以用与[100], [010], [001]三个晶向的方向余弦来表示任意方向的杨氏模量, 结果如下

对于其他晶系杨氏模量的极值, 不易得到解析公式, 直接使用数值方法搜索即可.

杨氏弹性模量各向异性的图示

mathematica中可使用球坐标绘图函数SphericalPlot3D来做出这种图, 很多文献中的图就是利用这个函数做的, 请参考这个函数的和相应的弹性模量.

考虑到Matlab使用更广泛些, 下面给出基于Matlab的绘图方法.

下面的代码绘制几种金属的杨氏模量三维各向异性曲面, 弹性常数来源于.

1. matlab默认的渲染颜色取决于Z轴大小, 这不符合我们的要求, 因为我们需要用颜色表示E的大小, 这样图形更直观.

2. 不同晶系杨氏模量的表达式不同, 只要把代码里E的表达式修改成相应的方程即可.

3. 杨氏模量在某一平面内的截面图形可利用极坐标或直角坐标绘制, 原理类似.

为了让大家有一个更直观的了解, 我们把具有不同各向异性值的立方金属选取具有代表性几个, 列于下表

相应的三维杨氏模量图如下

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