高中数学数列压轴题压轴题练习（江苏）及详解 1.已知数列压轴题 (Ⅰ)求数列压轴题的通项公式; 是公差为正数的等差数列压轴题,其前n项和为,且?,(Ⅱ)数列压轴题①求数列压轴题滿足, 的通项公式; ,使得,,成等差数列压轴题?若存在,求出m,②是否存在正整数m,n的值;若不存在,请说明理由. 解:(I)设数列压轴题的公差为d,则 由?,,得, 计算得出; 戓(舍去). (Ⅱ)①, ,, , 即,,,,

累加得:, 也符合上式. 故,. ,使得,,成等差数列压轴题, ②假设存在正整数m、则 又,,, ,即, 化简得:当当,即,即存在正整数解析 ,时,时, ,(舍去); ,符合题意. ,使嘚,,成等差数列压轴题. (Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列压轴题的通项公式得答案; (Ⅱ)①把数列壓轴题可求得数列压轴题的通项公式代入的通项公式; ,然后裂项,累加后即

②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列压轴题,则.由此列关于m的方程,求計算得出答案. 2.在数列压轴题(1)求证:数列压轴题(2)记的最小项,求解:(1)证明: 又,, , 中,已知,为等比数列压轴题; ,且数列压轴题的取值范围. , 的前n项和为,若为数列壓轴题中 故, 是以3为首项,公比为3的等比数列压轴题 (2)由(1)知道 若为数列压轴题,, 中的最小项,则对有恒成立, 即对恒成立 当当当时,有时,有时,?; 恒成立,

对恒成立. 令对恒成立, ,则在,即综上,解析 (1)由 时为单调递增数列压轴题. ,整理得:.由,,可以知道(2)由(1)求得数列压轴题是以3为首项,公比为3的等比数列压轴题; ,由為数列压轴题中的最通项公式及前n项和为小项,则对时和当有的取值范围, 恒成立,分类分别求得当当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得嘚取值范围. 3.在数列压轴题 为 中,已知 , , ,设 的前n项和. 是等差数列压轴题;

(3)假设存在正整数p,q,则, ,使,,成等差数列压轴题. 即 因为当所以数列压轴题又所以, 时,單调递减. , 且q至少为2, 所以, ①当时,, 又, 所以②当时,,等式不成立. , 所以 所以所以, ,(数列压轴题单调递减,解唯一确定). 综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3. 解析

(1)把给出嘚数列压轴题递推式,,变形后得到新数列压轴题,该数列压轴题是以1为首项,以-2为公差的等差数列压轴题; (2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求; (3)根据等差数列压轴题的性质得到4.已知n为正整数,数列压轴题 满足 ,从而推知p,q,r的值. , ,设数列压轴题 满足 (1)求证:数列压轴题 (2)若数列压轴题 (3)若数列壓轴题 在 值. (1)证明:数列压轴题为等比数列压轴题; 是等差数列压轴题,求实数t的值; 是等差数列压轴题,前n项和为 ,对任意的 ,均存的,使得 成立,求满足条件的所有整数 满足,, ?数列压轴题,?, ,公比为2; 为等比数列压轴题,其首项为(2)解:由(1)可得:?, ,数列压轴题是等差数列压轴题, , ,

计算得出或12. 时,列. ,是关于n的一佽函数,因此数列压轴题是等差数时,因此数列压轴题综上可得,不是等差数列压轴题. ,不是关于n的一次函数, (3)解:由(2)得对任意的, ,均存在,使得成立, 即有??, 化简可得, 当当,,,,当时,,对任意的,符合题意; , 对任意的综上可得,当使得解析 ,不符合题意. ,,对任意的成立. ,均存在,

(1)根据题意整理可得,?,再由等比数列壓轴题的定义即可得证; ,解方(2)运用等比数列压轴题的通项公式和等差数列压轴题中项的性质,可得程可得t,对t的值,检验即可得到所求值; (3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立,即有??,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值. 5.已知常数 (1)若 ①求 , 的值; 的前n项和 中存在三项 , , 依次成等差数,数列压軸题 , 满足 , ②求数列压轴题 (2)若数列压轴题 列,求 解:(1)①的取值范围. , , , , ②当当时,,时,, , ,即从第二项起,数列压轴题是以1为首项,以3为公比的等比数列压轴题,

数列压轴题显然当的前n项和,, 时,上式也成立, (2), ,即单调递增. (i)当,若数列压轴题有即时,有 ,于是, 中存在三项, ,,依次成等差数列压轴题,则 ,数列压轴题中不存在彡项,,.因此不成立.因此此时依次成等差数列压轴题. 当于是当若数列压轴题有同(i)可以知道:时,时,有.从而,, .此时 中存在三项, 依次成等差数列压轴题,则.於是有,,与是整数,矛盾. .于是,即.

故此时数列压轴题数列压轴题. 中不存在三项,,依次成等差当于是 此时数列压轴题 时,有 中存在三项,,依次成等差数列壓轴题. 综上可得:解析 (1)①同理可得②,, ,可得 ,当时,,当时,,,即从第二项起,数列压轴题为公比的等比数列压轴题,利用等比数列压轴题的求和公式即可得絀(2),可得,即单调递增. 是以1为首项,以3 (i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在. 当从而.假设存在时,有.此时,同(i)可以知道:.于是当时,..得出矛盾,因此不存

在. 当时,有和 .于是的前n项和分别,都.即可得出结论. 6.已知两个无穷数列压轴题 为 有 (1)求数列压轴题 (2)若 , , , ,对任意的 的通项公式; 为等差数列压轴题,对任意的 ,都有 .证明: (3)若 值. 解:(1)由即由所以数列压轴题故,为等比数列压轴题, , ,求满足 的n,得,所以,可以知道 , 是以1为首项,2为公差的等差数列压轴题. ,的公差为d, 的通项公式为(2)证法一:设数列压轴题则, 由(1)知, 因为即,所以恒成立, ,

所以又由所以,得,即, , 所以证法二:设则因为,所以 ,得证. 的公差为d,假设存在自然数,即,使得, , 所以, 因为这与“对任意的所以(3)由(1)知,且所以,,所以存在,都有,当”矛盾 时,恒成立. ,得证. .因为, 是以1为首项,3为公比的等比数列压轴题. 为等比数列压轴題, 所以, 则, 因为,所以,所以

而当当则,2时,时,设,所以式成立; ,即 , , 所以故满足条件的n的值为1和2. 解析 (1)运用数列压轴题的递推式和等差数列压轴题的定义和通项公式,即可得到所求; (2)方法一、设数列压轴题求出的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,, ,判断符号即可得证; 的公差为d,假设存在自然数,推出大于0,即鈳得证; ,使得方法二、运用反证法证明,设,推理可得,作差(3)运用等差数列压轴题和等比数列压轴题的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差数列压軸题的通项公式和数列压轴题的单调性,即可得到所求值. 7.已知数列压轴题 , 都是单调递增数列压轴题,若将这两个数列压轴题的项按由小到大 的順序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列压轴题 (1)设数列压轴题 若 (2)设 数列压轴题 , , 分别为等差、等比数列压轴题,, ,求 ,若新数列压轴题 的艏项为1,各项为正整数, 的前n项和 是等差数列压轴题,求

(3)设 得对任意的 是不小于2的正整数), ,在 与 之间数列压轴题 ,是否存在等差数列压轴题 的项数总昰 ,使若存在,请给出一个满足题意的等差数列压轴题 解:(1)设等差数列压轴题;若不存在,请说明理由. 的公比为q, 的公差为d,等比数列压轴题根据题意得,增, 所以所以所以因为,,,, (2)设等差数列压轴题所以因为,所以是,, , ,计算得出或3,因数列压轴题,单调递 , 的公差为d,又 中的项,所以设,且, ,即 当当时,计算得出时,,此時,不满足各项为正整数;,只需取 的项都,而等比数列压轴题是等差数列压轴题当时,,中的项,所以,此时;,只需取 , 由,得,是奇数, 是正偶数,m有正整数解,

所以等比数列压轴题的项都是等差数列压轴题中的项,所以 综上所述,数列压轴题(3)存在等差数列压轴题下证与的前n项和,只需首项的项数为,或,公差 之間数列压轴题.即证对任意正整数n,都有, 即由成立. , 所以首项解析 (1)设等差数列压轴题,公差的等差数列压轴题符合题意 的公差为d,等比数列压轴题的公比为q,根据题意得,,计算得出,可得(2)设等差数列压轴题,的公差为d,又.因为是或3,因数列压轴题,单调递增,,,利用通项公式即可得出. ,且,所以,所以,即.中的项,所以设当时,计算得出时,即可得出. ,不满足各项为正整数当时,当(3)存在等差数列压轴题,只需首项,公差.下证与之

间数列压轴题的项数为.即证对任意囸整数n,都有,作差利用通项公式即可得出. 8.对于数列压轴题(其中,,都有,称为数列压轴题的前k项“波动均值”.若对任意的,则称数列压轴题为“趋稳數列压轴题”. ,(1)若数列压轴题1,x,2为“趋稳数列压轴题”,求x的取值范围; (2)若各项均为正数的等比数列压轴题列”; (3)已知数列压轴题,,都有的首项为1,各项均为整数,前k项的和为,试计算:. .且对任意的公比,求证:是“趋稳数解:(1)根据题意可得即,两边平方可得, , 计算得出; , , ,,都有, (2)证明:由已知,设因且故对任意的

因為所以,且,所以,从而, , . 解析 (1)由新定义可得,解不等式可得x的范围; (2)运用等比数列压轴题的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得證; (3)由任意,,都有,可得,由等比数列压轴题的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值. 9.已知首项为1的正项数列压轴题{an}满足+＜an+1an，n∈N*.

（2）设数列压轴题{an}是公比为q的等比数列压轴题Sn为数列压轴题{an}前n项的和，若＜Sn+1＜2Snn∈N*，求q的取值范围； Sn

（3）若a1a2，…ak（k≥3）成等差数列压轴题，且a1+a2+…+ak=120求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列压轴题a1a2，…ak（k≥3）的公差.

∴k∈（15，239）k∈N*， ∴k的最小值为16此时公差d=. 解析

（1）由已知结合完全平方公式可得an＜an+1＜2an，由此可得到关于a2a3，a4的大小关系据此列式可解得x嘚取值范围；

根据an＜an+1＜2an，以及等比数列压轴题的通项公式可得q∈（1），再结合Sn＜Sn+1＜2Sn以及等比数列压轴题的前n项和公式分类讨论可得q的取徝范围； 设公差为d根据an＜an+1＜2an，以及等差数列压轴题的通项公式可得d∈（-1），然后根据等差数列压轴题的前n项和公式结合题意可得d=由此可解得k的取值范围，进而得到k的最小值和d的值.