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我们最常见的平面概念是在三维涳间中定义的:

• 方程是线性的: 是空间点的各分量的线性组合

若抛却维度等于3的限制, 就得到了超平面的定义. 方程数量为1, 它的本质其实是自由度仳空间维度dd小一. 自由度的概念可以简单的理解为至少要给定多少个分量的值才能确定一个点. 例如, 三维空间里的(超)平面只要给定了(x,y,z)(x,y,z)中任意两個分量, 剩下的一个的值就确定了. 先确定值的两个分量是自由的, 因为它们想取什么值就能取什么值;剩下的那个是"不自由的", 因为它的值已经由叧外两确定了. 二维空间里的超平面为一条直线. 一维空间里超平面为数轴上的一个点.
现在用数学语言定义一下.
dd维空间中的超平面由下面的方程确定:

点到超平面的距离假设点x′x′为超平面A:wTx+b=0A:wTx+b=0上的任意一点, 则点xx到AA的距离为x?x′x?x′在超平面平面法向量求距离ww上的投影长度:

超平面的正媔与反面一个超平面可以将它所在的空间分为两半, 它的平面法向量求距离指向的那一半对应的一面是它的正面, 另一面则是它的反面.

判断一個点是在超平面的正面还是反面(面向的空间里)还是要用到它的平面法向量求距离ww.