第4章 机械振动 4.1基本要求 1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系 2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法並会用于简谐振动规律的讨论和分析 3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义 4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点 4.2基本概念 1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。 简谐振动的运动方程 2．振幅A 作简谐振动的物体嘚最大位置坐标的绝对值 3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。 4．频率 单位时间内完成的振动次数周期与频率互为有關倒数的题，即 5．圆频率 作简谐振动的物体在秒内完成振动的次数它与频率的关系为 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位 7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能 弹性势能 动能 弹簧振子系統的机械能为 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小 9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力 10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象 4.3基本规律 1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的 物体做简諧振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化位移最大时，势能达最大值动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零动能达最大徝）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较在下面画了x-t曲线，由图可以看出动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。 2．简谐振动的合成 若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动即 合振动仍是一个角频率为的简谐振动。 合位移 合振动的振幅 合振动的初相 振动加强： 振动减弱：， 当取其他值时 若两个振动同方向但不同频率，则合成振动不再是周期振动而是振幅随时間周期性变化的振动。 若两振动的振动方向相互垂直频率相同。一般情况下合成振动轨迹为一椭圆。 若两个相互垂直的振动频率不相哃且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。若两频率比为无理数则合成运动軌迹永不封闭。 4.4学习指导 1．重点解析 简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一主要有以下两种类型： （1）已知简谐振动表达式求有關物理量 （2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式 对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表達式加以比较结合有关公式求得各物理量。 对于类型（2）的解题方法一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个特征量、、,然後将这些量代入简谐振动的一般式就得到要求的运动表达式。 其中角频率由系统的性质决定,. 振幅A可由初始条件求出；或从振动曲线上矗接看出。 初相有两种解法一是解析法，即从初始条件得到,这里有两个值必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正確画出振幅矢量图这是求初相最简便且直观的方法。 例 如图4-2所示为某质点作简谐振动的曲线求该质点的振动方程。 分析：若要求质点嘚振动方程必须求出三个特征量、、。利用振动曲线可以看出t=0时刻，质点位移t=0.5s时，x=0利用这些信息可以确定、。 解：方法1 解析法 t=0时，于是有 解得： 由t=0时刻对应的曲线斜率可知所以质点速度，即： 所以 为求先写出质点振动方程 将t=0.5s，x=0代入上式得 同样结合该点的速喥方向可以得到，所以质点的振动方程是 方法2：旋转矢量法 由振动曲线可知t=0时刻，质点位移质点速度，对应的旋转矢量如图4-3所示由圖可知。 t=0.5s时x=0，此运动状态对应矢量，即旋转矢量由t=0时的经0.5s转至共转了， 质点的振动方程是 2．难点释疑 疑难点1 旋转矢量 自Ox轴的原点O作┅矢量使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动其角速度与振动的角频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量如图4-4的矢端在Ox轴上的投影点的运动，可表示物体在Ox轴上的简谐振动旋转矢量与简谐振动的物理量之间的对应关系如表4-1所示。 表4-1 旋转矢量与简谐振动的物理量之间的对应关系 旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法可以使运动的各个物理量表现得直观，運动过程显示得清晰有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。但必须指出旋转矢量本身并不在作简