锆第期年月物理教学PHYSICSTEACHINGVlZNO．Jun．量子场论介绍戴元本(中国科学院理论物理研究所北京)摘要量子场论是微觀世界原子和亚原子现象的基拳理论。它是量子力学的发展是无穷堆体系的量子力学量子场论在描述粒子物理中的弱、电和强相互作用方面取得了辉煌的成就并在凝聚态理论中有重要的应用量子理论中存在发散因难。由于重整化理论的发展这个目难不影响它精确预言低能(楿对于采一未知能标)现象的能力但是却指示它的局限性关键词量子场论量子力学规范场重整化理论量子场论是微观世界原子和亚原子现潒的基本理论它是量子力学的发展。Heisenberg()和Schroedinger()的工作奠定了量子力学的基础量子力学建立于对应原理：经典力学中的物理量在量子力学中的拉氏量都有一个对应的算符对于一个微观粒子的系统量子力学的基本假设可以表述如下：对应于经典力学系统的广义坐标q。(i一?N)和正则共軛动量P的算符满足正则对易关系LqqJEp,PJJ·LqPijih$o这里EAB三ABBA。作为q和P函数的物理量。满足Heisenberg运动方程一Hoaf^H是哈密顿量(即作为q和P函数的系统总能量)量子场论的奠基工作是由Dirac()、JotdonPauli()和HeisenbergPauli()完成的它比量子力学的建立只晚三年。这是因为在量子力学建立以后人们立即遇到如何处理光子的问题按照对应原理與光子在经典理论中对应的是电磁场．因此必须建立场的量子理论。进一步思考所有微观粒子都具有波粒二象性也就是连续的场与量子化嘚粒子的二象性应当有一个统一的描述这样的思考迅速导致量子场论的建立在量子场论中按照量子力学的基本假设。先选择一组描述经典场的广义坐标例如可选独立的场量在空间点、t时刻的值(t)l。?N代表不同的独立的场量。与(t)共轭的动量是：==·LJdz是系统的拉氏量(Lagrangian)因此按照量子力学有正则对易关系j(t)(y￡一l()i(y￡)一O。()(Y￡)一(xy)这里(y)是Dirac艿函数它在≠Y时为零对变量的积分等于在满足相对论要求的量子场论中拉氏量通常取洳下的形式L=Jd敞(t)(￡))四维矢量z『|’～“=(ict)=c是光速。这里是同一时空点上的场量及其导数的函数这样的场论称为定域场论。这是因为不同时空点嘚场在中相乘导致超距作用(参考下文)违背相对论的基本要求自旋为半整数的粒子满足Pauli不相容原理和量子力学态波函数的反对称性满足这個要求的量子化方案是Jordon和Wigner(年)给出的与整数自旋粒子的差别是将正则对易关系换为反对易关系(f()。f(y￡))=(i(￡)．f(y￡))===(f()．f(Y))：：=(y)这里(AB)=ABlBA。按照量子力学原理場的物理量算符满足Heisenherg运动方程．也满足与它等价的拉氏运动方程由上述基本方程式可见最予场论就是连续无穷维系统的量子力学。在中呮含(X)和÷(z)的二次项时．场口Z的拉氏运动方程是线性的它的解是一些自由传播的平面波在量子理论中相应于一些自由运动的有一定动量的粒子。这时量子场论得到的能量是维普资讯http:wwwcqvipcomE=∑(n／)oan=?=整数I这里∞hIJIJ是波的频率对于电磁场来说这就是爱因斯坦的光量子方程式n是频率为v的光孓数一般来说n代表处于这个状态f的粒子数。中场的三次以上的项使上述自由运动粒子的能级之间发生跃迁即粒子的散射、产生和消灭因此咜们代表粒子的相互作用在量子场论中场算符()包含粒子的产生和消灭两个部分。由于这些相互作用项的存在各种粒子数是不固定的。洇此量子场论能够描述粒子数不固定的过程例如原子自发辐射过程在量子场论建立以前是不能直接计算的高能物理(粒子物理)过程经常包含粒子的产生和消灭必须用量子场论描述。量子场论也可以描述凝聚态物理的许多过程这时场所对应的粒子常常不是原子、电子而是某種集体运动的元激发。由于也是无穷维量子系统它们也适用量子场论一种量子场论的对称性是它的重要性质。这是指理论的运动方程(即拉氏量L)和对易关系在某种变换下的不变性在线性变换的情况一般可写为()一()一U(z)z=Azn。按照Noether定理相应于一个对称性必定存在一个守恒量例如时间岼移、空间坐标平移、空间转动和质子一中子场之间的么正变换的不变性分别导致能量、动量、角动量、同位旋守恒用于高能物理时量孓场论必须满足相对论的要求。虽然正则对易关系与两个同一时刻的场量有关因而不是明显洛仑兹协变的但很早就证明了只要拉氏量L是洛侖兹不变的定域量子场论就是洛仑兹不变的在量子场论中能够严格求解的问题非常少最常用的近似方法是量子学的微扰论。它适用于耦匼常数(即L中相互作用项的系数如电子的电荷)小的情况在高能物理的计算中保持近似计算结果的洛仑兹不变性很熏要。上世纪O年代后期Feynman、Dyson等人发展了一套量子场论的洛仑兹协变的微扰方法量子场论建立不久就发现它有一个严重的问题在用微扰论计算各种物理量时在高阶总昰得到无穷大的结果。这来自考虑粒子与它自己产生的辐射场相互作用时须对辐射场的能一动量积分而积分在能一动量趋于oo时发散在量孓理论中大的能一动量相应于小的时空距离。这个发散并非来自微扰论也非来自量子力学的原理相应的发散在经典理论中已经存在。在經典电动力学中电子看作带电的球由于和它自已产生的场相互作用有一d个自能～。在点粒子近似下半径Ro电子质』、量是发散的如果放棄点粒子假设。不容易得到一个满足相对论的理论经典场论中的点粒子假设对应于量子场论中的定域假设。在量子电动力学中由于光子能转换为一对正、负电子然后又变回光子这种自作用导致电子的电荷也发散在将近二十年的时间中人们试通过构造形式不同的场论来解決发散问题但都没有成功。如BoppPodolsky的高阶微商场论破坏量子力学的么正性BornInfeld的非线性场论有满足量子力学的叠加原理的困难Yukawa的非定域场论破坏相對论的因果性发散困难的存在表明量子场论不是一个自洽的理论。如何在这个理论中抽取合理的物理结论这个问题由重整化理论解决了基于Tomonaga的工作Schwinger、Feynman和Dyson()证明量子电动力学的微扰论表示式中所有的发散因子都可以吸收到电子质量m和电子电荷e的修正中如果以m和的实验值替换咜们的计算表示式则所有物理量的计算值都是有限的。‘一般不含量纲为负(以能量的量纲为)的耦合常数的场论都有类似的性质它们称为鈳重整的场论。严格来说熏整化包含如下的手续：首先改变量子场论的微扰论公式引进某种有效的切断能标A使在动量P》。^处被积函数下降较快积分收敛而且P《。^处被积函数的修正为O(P／A。)的量级这个手续称为正规化。代衷物理过程的振幅的S矩阵中所有在一^o时发散的洇子都可以吸收到粒子质量和耦合常数中去其余的因子在以一o。时不依赖于^因此物理量的计算结果不依赖于正规化的具体方案重整化的量子场论对各种物理量给出完全确定的有限的结果。重整化的理论初看好像很无理实际上它是建立在如下的物理假设的基础上的：量子場论与真实世界规律的差别只是在大的能一动量(即小的时一空距离)处在真实世界中新的未知的物理规律起着正规化的作用。不论新物理规律的形式如何只要它起作用的能标比实验中各个粒子的能一动量大很多重整化的量子场论都能给出精确的预盲重整化理论的正确性随即被實验所证实·。维普资讯http:wwwcqvipcom年氢愿子能级的Lamb移动和电子的反常磁矩两个实验结果与重整化的量子电动力学在很高的精度上符合。经过实验囷理论计算两方面的不断精确化电子磁矩与实验的符合精度现在已经达到O这是重整化理论的惊人成就Tomonaga、Schwinger和Feynman因此获得年诺贝尔奖。其詹量孓场论的重要发展在规范场论和对称性自发破缺两个方面规范对称性是各时空点上的场量作独立的各不相同的变换时的对称性。量子电動力学是一种规范场论在电子场的位相作一个与时空坐标X有关的变换(z)P‘(z)同时电磁场作一个规范变换A(z)一A(z)一÷aa()时量子电动力学的拉氏量保持不變这个变换构成一个阿贝尔群即群元素的乘法是可交换的。杨振宁和Mills于年把它推广到非阿贝尔群即群元索的乘法不可交换在非阿贝尔规范场论中有一组物质场(z)i一·．N和一组规范场A：()口===?R当这组(z)作属于非阿贝尔群的与时空坐标有关的变换(z)一【(z)j(z)同时A：(z)作相应的(形式比量子电動力学复杂)规范变换时拉氏量保持不变。正如在量子电动力学中电磁场传递电子之间的电磁作用相应的粒子光子质量为零、自旋为在非阿贝尔规范场论中规范场论传递物质场之间的各种作用相应的R个规范粒子质量为零、自旋为。由于除光子外实验没有发现其他零质量自旋等于的粒子非阿贝尔规范论开始时不能与实际联系年间Higgs等人提出了自发破缺的Higgs机制所谓对称性自发破缺是指场的运动方程在这种对称变换丅不变但是真空态在这种变换下不是不变的这时规范粒子得到质量。Glashow()、Weingerg()和Salam()提出了统一描述弱作用和电磁作用的GwS模型这是一个有Higgs机制的非阿贝尔规范场模型(年诺贝尔奖)。年左右GellMann和其他人提出了描述强相互作用的量子色动力学这是一个没有自发破缺的非阿贝尔规范场论模型这两种理论都包含夸克和规范粒子通过规范场而相互作用。它们合称为粒子物理的标准模型爱因斯坦的经典引力场论也是一种规范场論。·d‘由于要保证重整化以后的场论有规范不变性非阿贝尔规范场论的重整化有其特殊的问题年Hooft和Veltman证明非阿贝尔规范场论(包含带Higgs机制嘚情况)可重整(年诺贝尔奖)。这保证了非阿贝尔规范可以对物理量作确定的预言Gross、Wilczeck和Politzer在年证明在参与作用的粒子的能一动量很大时未破缺嘚非阿贝尔规范相互作用强度变弱有效耦合常数趋于零(年诺贝尔奖)。这个性质称为渐近自由它保证量子色动力学在能一动量很高时可以用微扰论进行计算实验没有发现夸克和质量为零的传递强相互作用的规范粒子。为解释这个矛盾提出了未破缺非阿贝尔规范场论的囚禁假設即夸克和胶子这些参与规范变换的粒子由于它们之间的未破缺规范作用都被约束在小的距离中形成在规范变换下不变的束缚态一强子如核子、介子不存在自由的有未破缺规范作用的粒子强子内部组元对外的规范相互作用抵消强子问的强相互作用是抵消后剩余的短程作用。这个假设有一些物理的论证虽然这些论证看来是有道理的但仍然不是严格的证明这是规范场论中一个未解决的基本问题上世纪九十年玳中在CERN、SLAC和Fermilab等实验室进行的精确实验结果与重整化的标准模型在O()的量级上符合得相当好。实验证明在现有实验能量达到的范围内(MeV的量级MeV是兆电子伏特)重整化量子场论精确地描述了弱、电以及高能强相互作用这同时也证明了弱、电、强以及引力四种基本相互作用都是由规范場论所描述的。但是引力场的量子化还没有成功为了不同的物理对象须研究不同的量子场论。研究得很多的有二维共形场论和超对称场論量子场论的一个重要的尚待解决的问题是在耦合强时如何作可靠的理论计算。人们发展了一些非微扰方法如重整化群、低能有效场论、量子色动力学求和规则等这些方法都有局限性。一个重要的非微扰方法是格点场论这种理论用有限的时空格点代替连续的时空场量萣义在有限的点阵上用计算机计算各种物理量。格点场论现在已经能够对一些非微扰物理量给出有用的结果随着计算方案的改进和计算機能力的提高格点场论的计算原则上能够不断逼近连续时空的量子场论给出越来越精确的结果。维普资讯http:wwwcqvipcom