这个问题看起来十分粗浅，但还是有点意思的。户外在下雨，无法出门晨练，我来回答题主的问题吧。1.首先要明确电压平均值和电流平均值是如何计算的我们看下图：图1：电压的平均值图1的左图中，我们看到了电压波形1，它是连续不间断的稳定电压。我们还看到电压波形之2，它在0到t5这段时间内有三个不同电压高度和宽度的直流电压脉冲构成。我们如何来分别求解电压波形1和电压波形2的平均值？求解电压平均值的统一方法是：电压平均值=\frac{电压曲线包含的面积}{总时间} ，式1根据式1我们很容易看出，图1左图中的电压波形之1的电压平均值 U=U_1 ，图1左图的电压波形之2的电压平均值是：U=\frac{U_2t_1+U_2(t_3-t_2)+U_3(t_5-t_4)}{t_5} 我们再看图1的右图，它是正弦电压波形。如果按式1来计算正弦交流电压的平均值，由于正弦波的正半周面积与负半周面积相等，但一个是正值一个是负值，故正弦交流电压的平均值等于零。对于电流的平均值，计算方法类似式1，只不过把电压面积换成电流面积就是了。电流平均值=\frac{电流曲线包含的面积}{总时间} ，式2我们依然可以看出，正弦交流电流的平均值等于零。注意1：我们已经知道了交流正弦电压的平均值 \bar{u_{ac}}=0 ，也知道了交流正弦电流的平均值 \bar{i_{ac}}=0 ，那么它们的乘积也即交流电的平均功率 \bar{P_{ac}}=\bar{u_{ac}}\bar{i_{ac}}=0 。这一点很重要。注意2：由于余弦电压/电流与正弦电压/电流只相差90度的相位角，故知交流余弦电压和电流的平均值亦等于零。由此可见，用平均值来描述交流电压和交流电流，显然是不行的，我们必须另寻他途。2.测量正弦交流电流有效值的电路和计算方法我们看下图：图2：用于测量交流电流有效值的电路图2的测量电路中，我们把开关K1闭合但开关K2断开，则直流电路接通。设接通电路前水的温度与环境温度一致，我们看到密封容器中电阻R在直流电流Idc的作用下产生发热功率Pdc并对水加热，经过一段时间t后水达到一定的温度T1。接着我们把K1断开，并让水温降低到环境温度，然后密封容器，接着把K2接通K1断开，交流电流Iac对电阻R产生发热功率Pac，水再次被加热升温。若经过相同的时间t后，我们发现水温T2与之前的水温T1相同。由此可见交流电流对水的加热功率Pac等于直流电流对水的加热功率Pdc，即Pac=Pdc。我们继续讨论。因为：P_{ac}=i_{ac}^2R=(I_m\sin\omega t)^2R=(I_m^2\sin^2\omega t)R 注意3：这里的Im就是交流电流的最大值。由于： \sin^2\omega t=\frac{1}{2}(1-\cos2\omega t) 因此有： P_{ac}=I_m^2\left[ \frac{1}{2}(1-\cos2\omega t) \right]R 也即： P_{ac}=\frac{I_m^2R}{2}-\frac{I_m^2R}{2}\cos2\omega t 由前所述，上述表达式中等号右边的第二项就是余弦电流的平均值，即： \frac{I_m^2R}{2}\cos2\omega t=0 。注意到Pac=Pdc，故有：P_{ac}=\frac{I_m^2R}{2}=P_{dc} 也即： \frac{I_m^2R}{2}=I_{dc}^2R 进一步推得： I_{dc}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}\approx 0.707I_m 我们把这里的Idc叫做交流电流的有效值，用I来表示。也即：I=I_{dc}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}\approx 0.707I_m ，式3我们看到，交流电流最大值Im与交流电流有效值的比值就是 \sqrt{2} 。这就是题主的问题结论。========================事实上，如果题主熟悉微积分的话，利用简单的积分，我们很容易得到式3的结论。具体可参阅任何一本《电路分析》教材。另外，对于本回答中的试验电路图2，建议题主仔细研究。此图不但是测量交流电流有效值的方法，也诠释了交流电流有效值的由来。}