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学习这一章，应重点掌握以下内容：
学习本章，要掌握以下知识：
1. 正弦变化的电流和电压如何表示为相量；
2. 正弦信号的三要素、有效值与振幅值的关系；
3. 电阻、电容和电感元件的相量模型；
4. 阻抗与导纳的概念；
5. 正弦稳态电路的平均功率、复功率和功率因数。
4.1 正弦信号与相量
本章开始研究在含有R、L、C等元件的电路中，当输入信号为正弦交流电压或电流，且电路达到稳态时（即电路的响应也仅为正弦量）的分析方法。
4.1.1 正弦信号
正弦信号是最基本的周期信号，它是任何其他周期信号或非周期信号的基本元素。为了便于对电路做正弦稳态（sinusoidal steady state）分析，这里首先重温正弦信号的基本概念。
按正弦规律变化的电压或电流称为正弦交流电。如图 4-2 所示，以 ωt 为横坐标的正弦交流电压 u （ t ），其函数表达式为
图 4-2 正弦波
[1] 中， U m 称为该电压的振幅， ω 称为正弦量的角频率，（ ωt + θ ）称为相位， t =0 时的相位 θ 称为初相位，简称初相。通常，最大值 U m 、角频率 ω 和初相位 θ 称为正弦量的三要素。只要知道了正弦函数的这三个要素，就可以立即确定它的解析表达式。角频率 ω
是衡量交流电变化快慢的物理量。由于正弦信号每重复一次要变化 2π 弧度，所以角频率 ω、 频率 f 和周期 T 之间的关系为
f =1 /T
ω =2π f =2π /T
式中， ω 的单位为弧度 / 秒，记为 rad/s。频率 f 的单位为赫 [兹]，记为 Hz。
初相的概念非常重要，有必要做进一步的说明。由式（4-1）可知，初相角 θ 决定了正弦量在 t =0 时电压初始值的大小，即 u （0）= U m sin θ 。在图形上，当以 ωt 为横坐标时，初相就是正弦曲线零值点与 t =0 点间的弧度数。不过，正弦信号是一个以 2π
为周期的函数，其零值点很多，究竟选哪一个作为计算初相的标准呢？通常规定：当正弦曲线从负变正时经过的那个零点到坐标原点间的弧度数 θ 满足
θ
≤π 时，称此 θ 为初相位（主值范围）。若满足上述规定的正弦零值点在 t =0 以左，则初相 θ ＞0；若零值点在 t =0 以右，则初相 θ ＜0。
若有两个同频率的正弦电流
i 1 （ t ）= I m1 sin（ ωt + θ 1 ） i 2 （ t ）= I m2 sin（ ωt + θ 2 ）
当初相 θ 1 ＞ θ 2 时， i 1 称为超前于 i 2 ；当 θ 1 = θ 2 时，称 i 1 和 i 2 同相；当 θ 1 - θ 2 =π 时，称 i 1 和 i 2 反相。图 4-3 为这三种情况的示意图。
图 4-3 正弦电流的相位比较
任意两个同频率的正弦交流信号，例如上述 i 1 （ t ）、 i 2 （ t ），它们的相位差为
（ ωt + θ 1 ）-（ ωt + θ 2 ）= θ 1 - θ 2
即为它们的初相之差。相位差用 φ 表示。
顺便指出，有的书中使用余弦函数表示正弦电流或电压，但本质是一样的，因为
所以不论使用正弦或余弦，仅有 π/2 的初相差别。不过当比较两个正弦信号的相位差时，必须化为同种函数。此外，正弦函数的初相角单位为弧度，但习惯上经常写为度，这虽然不太严格，但在分析问题时较为方便、直观。例如
也可以写为
u （ t ）=10sin（314 t +45°）V
正弦函数的微分和积分仍然是同频率的正弦函数，而两个同频率的正弦函数的和或差，其结果也是同频率的正弦函数。例如
则两者之和
i 1 =10sin（ ωt ）A i 2 =10sin（ ωt -60 ° ）A
i 1 + i 2 =10[sin（ ωt ）+sin（ ωt -60°）]A
由三角公式
所以
i 1 + i 2 =10 3 sin（ ωt -30°）A
这就是说，两同频率的正弦量之和频率不变，仅改变了振幅和初相。
交流电的有效值（effective value）。
设有正弦电流为
i （ t ）= I m sin ωt
它在电阻 R 上消耗的瞬时功率为
即
上式等号右边第一项恒定，后一项的平均值为零。所以在电阻上消耗的平均功率为
而直流电流 I 在 R 上消耗的功率为 I 2 R 。令以上二者功率相等，则有
即有
有效值为
类似地，正弦电压的有效值为
4.1.2 相量的概念
1. 复数
设一个复数 A = a +j b， 其中 a、b 都是实数， a 为复数的实部， b 为复数的虚部，
为虚数单位（虚数单位在数学中用 i 表示，因电工学中用 i 表示电流，故改用 j 以示区别）。
取笛卡儿坐标系（直角坐标系），其横轴称为实轴，用来表示复数的实部；纵轴称为虚轴，用来表示复数的虚部。这两个坐标轴所在平面称为复平面。复平面上的每一个点都对应唯一的一个复数，反之亦然。例如，3+j4 对应于图 4-4 中复平面上的 P 1 点，-3+j4 对应于 P 2 点。
图 4-4 复平面
复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。如 A=3+j4 可以用一个从原点 O 到 P 1 点的矢量来表示。这种矢量称为复数矢量。任意一个复数 A 可对应一个复数矢量 OP， 如图 4-5 所示。矢量的长度定义为复数 A 的绝对值，称为复数的模。即
图 4-5 复平面中的矢量
A|= a 2 + b 2
矢量与实轴正方向的夹角 θ 称为复数 A 的辐角。
因为
根据欧拉公式
e jθ =cosθ+jsinθ
式（4-6）又可以写为
复数的四则运算规则如下。
设
A= a 1 +j b 1 =|A
θ 1 B = a 2 +j b 2 =|B
θ 2
则 A± B =（ a 1 ± a 2 ）+j（ b 1 ± b 2 ）
此外，由于
得
由欧拉公式，又可得
这里，Re（·）和 Im（·）分别为取实部和取虚部的符号。
式中， I m 为 I · m 的模，则
在电路中，通常将电流的振幅（或有效值）与其初相角构成的复数称为电流相量。例如
i （ t ）=5sin（ ωt -30°）A
它所对应的相量为
但要注意，
，I· m 仅是i（t）的代表相量。
类似地，若有电压
u （ t ）=10sin（ ωt +50°）V
则其电压相量为
若用有效值作为相量的模，则有效值相量为
2. 用相量表示正弦量
设有时间 t 的复值函数，利用数学中的欧拉公式
正弦量用相量表示后，还可以用相量图来表示。
设电流和电压相量分别为（以有效值为模）
可在复数平面上分别画出它们的相量图，如图 4-6 所示。
图 4-6 相量图
4.2 储能元件
4.2.1 电容元件
一个二端元件，如果在任一时刻 t， 它的电荷 q 与电压 u 的关系可以唯一地用 u - q 平面上的一条曲线所表征，即有代数关系
f （ u，q ）=0
则此二端元件称为电容元件。
1μF=10-6F 1pF=10-12F
图 4-9 电容元件及其特性曲线
若电容上电压与电流方向一致，考虑到
故有
式（4-10）表明，在任一时刻，电容电流与其电压的变化率成正比。对于直流电压，由于 d u /d t =0，故 i （ t ）=0，即电容元件对直流相当于开路。
若电容上电流 i （ t ）为已知，则在时刻 t， 由式（4-10），可得电容上积累的电压为
式（4-11）表明，某一时刻 t 电容上电压的值与 t 时刻以前电流的全部历史有关。即使 t 时刻电流为零，但电容上电压仍可能存在。这说明电容有记忆作用，因而常称电容为记忆元件。上式中以积分变量 x 区别于积分上限 t 。
若电容上 u 与 i 方向不一致（非关联），则有
再来看电容的储能情况。电容的记忆特性是它具有储存电场能量本领的反映。由于在 t 时刻电容的瞬时功率为
从而电容在 t 时刻的储能为
通常总是假定 t =-∞ 时电容上电压为零，从而
4.2.2 电感元件
一个二端元件，如果在任一时刻 t， 其电流 i （ t ）和磁通 Φ （ t ）的关系可以唯一地用 i - Φ 平面上的一条曲线所表征，即有代数关系
f （ i，Φ ）=0
则此二端元件称为电感元件。
1 mH=10-3H，1 μH=10-6H
图 4-11 所示为电感元件及其典型的特性曲线。如果电感元件的磁通为电流的线性函数，即
图 4-11 电感元件及其特性曲线
Φ （ t ）= Li （ t ）
对线性电感，因 Φ （ t ）= Li （ t ），故在 u、i 方向一致时，有
若电感上电压与电流方向为非关联参考方向，则关系如下
2. 电感的储能
电感的记忆特性是它储存磁场能量的反映。由于在 t 时刻电感的瞬时功率为
所以在任一时刻，电感的储能为
W L （ t ） = ∫ t -∞ p （ x ）d x
设 t =-∞ 时 i （-∞）=0，则与电容的推导相类似，可得
即电感在任一时刻的储能仅取决于该时刻的电流，而与 i （ t ）的历史无关。如果要确定从 t 0 到 t 期间储能的变化量，则
例 4-1 如图 4-12（a）所示，将电感接于电压源 u S （ t ）。 L =0.5H， i （0）=0，试求电感中的电流。
图 4-12 例 4-1 图
解 电压 u S （ t ）的表达式为
当 0≤ t ≤0.5s 时
当 t ＞0.5s 时
归纳起来为
其波形如图 4-12（c）所示。
4.3 电路的相量模型
4.3.1 KCL 和 KVL 的相量表示
设流入某节点的复指数同频率电流为
必然有
即
两边同除以 e jωt ，得
或写为一般式
用类似的方法可以得到 KVL 的相量形式
4.3.2 基本元件的正弦稳态响应及相量模型
1. 电阻元件
设电阻 R 上的电压为 u = U m sin ωt， 则电流
其中电流振幅为
I m = U m /R
相应地，电压振幅为
而且 u 和 i 的相位变化是同相的，如图 4-21 所示。
图 4-21 电阻 R 中的电压与电流
若用相量表示 u 和 i， 有
则相量关系（VCR）为
若 u 和 i 的有效值用 U 和 I 表示，故数值关系为
于是又可用有效值相量表示电阻上的 VCR，即
上式表明，在电阻 R 上，若输入为
响应
则二者满足复数形式的欧姆定律。由于电压和电流相位同相，上式的数值关系可写为
这就是说，电阻 R 上的电压有效值等于电阻与电流有效值的乘积。当然振幅关系满足 U m = RI m ，而且电压与电流同相。
2. 电感元件
设电感 L 中有电流 i = I m sin ωt， 则其两端的电压为
u=ωLI m sin（ωt+90°）=U m sin（ωt+90°）
式中，电压振幅为
由上可知，电感 L 中电流 i 和电压 u 的相位差为 90°，即电压超前电流 90°，如图 4-22 所示。
图 4-22 电感 L 中的电压与电流
由式（4-23）可得
令
这里 x L 称为电感的感抗，其大小与频率成正比。
再考虑相量关系。设电流相量为
由于电感中电压超前于电流 90°，故其相量可表示为
即有
或者用有效值相量表示为
由上式可得如图 4-23（a）所示的电感的相量模型。考虑到 j=e j90° ，
所以上式可表示为
图 4-23 电感的相量模型及其相量图
因此式（4-26）包含两方面的内容，即电压、电流的大小关系和初相关系分别为
上述表明，电感上电压与电流的大小之间也满足欧姆定律，其中 ωL = X L 称为电感的感抗，单位为 Ω；电压的初相超前于电流的初相 90°。这是电感元件在正弦稳态时所出现的固有现象。
3. 电容元件
对于电容元件，当 u 和 i 方向一致时，有
设电压u=Umsinωt，则电容上电流为
即
式中
可知电流超前于电压 90°，如图 4-24 所示。
图 4-24 电容 C 中的电压与电流
由式（4-28）可得容抗为
若用有效值相量表示，由于电流超前电压 90°，故有
或
由此可知电容上电压与电流的大小关系和初相关系分别为
上式表明，电容元件上 U 与 I 也存在着欧姆定律关系，其中
称为电容的容抗，单位为 Ω；而电容上电流超前于电压 90°。图 4-25（a）、（b）分别为电容元件的相量模型及相量图。
图 4-25 电容的相量模型及电流、电压相量图
例 4-3 如图 4-27（a）所示 RC 并联电路，已知 R =1 kΩ， C =0.05μF，电源电压 U =10 V， ω =10 4 rad/s。试求总电流 I ·，并画出各电流相量图。
图 4-27 例 4-3 图
解 先画出相量模型电路如图 4-27（b）所示。设电源电压初相角为 0°，即有效值相量为
由图 4-27（b）所示相量电路通过 R 的电流为
电容中的电流为
由 KCL，总电流的相量
从而得到
图 4-28 相量法求解正弦交流电路的过程
4.4 阻抗与导纳
4.4.1 阻抗
在基本元件的相量模型中，其共同特点都是以端口上的电压和电流相量来表示的，如 R、L、C 元件，有简单的代数形式，即有电压有效值相量和电流有效值相量关系：
对电阻 R：
对电感 L：
对电容 C：
以上可以用统一的相量形式表示为
式中， Z 称为元件的阻抗（impedance），一般为复数，单位为欧 [姆]（Ω）。式（4-32）称为欧姆定律的相量形式。对单个理想元件来说，它们是
R 的阻抗：Z R =R
L 的阻抗：Z L =jωL=jX L
C 的阻抗：
根据相量形式的欧姆定律，可以分别画出三种元件对应的电路相量模型，如图 4-30 所示。
图 4-30 R、L、C 元件的相量模型
一般而言，设一不含独立电源的二端网络 N，在正弦稳态下，其端口电压和电流分别用相量
表示，并设参考方向关联，则该二端网络的阻抗Z定义为
阻抗 Z 就是二端网络的等效阻抗，如图 4-31 所示。
图 4-31 阻抗定义示意图
图 4-32 阻抗的串联
即
或者
它为该电路的总阻抗。该阻抗又可写为
Z=R+jX 称为阻抗的一般形式。其中 R 为阻抗的电阻分量（resistive component），X= 为阻抗的电抗分量（reactive component）。
阻抗又可以表示为
式中
Z
称为阻抗 Z 的模或绝对值， φ 称为阻抗 Z 的阻抗角。反过来，又有
R =
Z
cos φ
X =
Z
sin φ
另一方面，由于
与式（4-35）相比较，有
例 4-4 如图 4-32 所示电路，设 R =10 Ω， L =1 H， C =0.005F， u S （ t ）=100 2 sin（20 t ）V，试求电流 i、u C 、 u R 和 u L 。
解 根据已知，首先求出相量模型电路中的各量：
总阻抗
Z=Z R +Z L +Z C =（10+j20-j10）Ω=（10+j10）Ω
故电流
进而得
最后有（注意将有效值变为振幅）
各电压的相量关系如图 4-33 所示。
4.4.2 导纳
阻抗的倒数定义为导纳（admittance），用符号 Y 表示，即
对于基本元件 R、L 和 C 而言，它们在交流电路中所对应的导纳分别为
对图 4-34 所示的 RLC 并联电路，由 KCL 得
图 4-34 阻抗的并联
由于
故
这里 Y 称为电路的总导纳，它等于并联各元件导纳之和， G 为电导，
称为电纳。导纳的模与电流电压的关系为
关于阻抗与导纳有两点必须强调说明：
（1）若阻抗 Z = R +j X， 导纳 Y = G +j B， 但其中 R ≠1 /G，X ≠1 /B， 因为当 Z = R +j X 已知时，有
所以
（2）阻抗 Z 和导纳 Y 通常是频率的函数。因为 X L 与频率成正比， X C 与频率成反比，所以在一般阻抗中，电感和电容对不同频率的阻抗作用必然有所反映。例如，对于
当 X＜0，电路呈电容性；
当 X＞0，电路呈电感性；
当 =0，电路呈电阻性。
例 4-5 如图 4-35 所示电路，试求其电流 I · 和总阻抗。
图 4-35 例 4-5 图
解令
故电感支路电流为
电容支路电流为
总电流为
总阻抗为
4.5 相量分析的一般方法
4.5.1 网孔分析法
图 4-40 为一正弦稳态电路的相量模型。
图 4-40 网孔分析示例
由于非公共支路有一电流源
故只需列两个网孔方程
化简为
由于
故有
从而解得
电容上电流
4.5.2 节点分析法
图 4-41 是一个 RC 振荡器的电路模型。若电路已产生稳定的正弦振荡，用节点法确定参数 A 和振荡角频率 ω 。图中 R =1Ω， C =1F。为用相量法分析，可先将各元件用阻抗代替，并设独立节点电压为
和
列出节点方程如下。
图 4-41 节点分析示例
代入数据整理得
该线性齐次方程组存在非零解的充要条件为其系数行列式等于零，即
展开可得
上式的实部和虚部应分别为零，即
解得
这就是说，当电路中放大量 A =29 时，可产生
的正弦振荡。若R、C任意，则
该结论在工程中非常有用。
4.5.3 戴维南等效法
在正弦稳态下，网络的各种定理都可以应用，如叠加定理、替代定理、戴维南定理等。这里重点介绍戴维南等效方法。
例 4-8 在测量技术中，交流电桥应用非常广泛。图 4-42（a）是交流电桥的原理电路。mV 为毫伏表，其内阻设为无穷大。求交流电桥的平衡条件。
图 4-42 例 4-8 图
解 要使电桥平衡，必须满足毫伏表两端的电压为零。利用戴维南定理，将毫伏表开路，则开路电压为
若令
则毫伏表中无电流，故电桥平衡条件为
Z 2 Z 3 - Z 1 Z 4 =0 或者 Z 2 Z 3 = Z 1 Z 4
平衡条件是一个复数方程，它实际上包含两个条件，即方程两边的实部和虚部分别相等。实测中，通常是一个支路接被测元件，其余三个支路接标准元件，需要仔细调节才能达到平衡。
图 4-42（b）是测量电容 C X 及其漏电阻 R X 的电桥。若设 C X 和 R X 的组合为 Z X ， R 4 和 C 4 的组合为 Z 4 ，电桥平衡时，应有
R 2 Z X =R 1 Z 4
即
具体为
解得
4.6 正弦稳态电路的功率
4.6.1 平均功率
1. 电阻 R 的平均功率
在交流电路中，电流和电压都是随时间而变化的，所以功率也是随时间变化的。电阻 R 在任一瞬间吸收的功率称为瞬时功率。根据定义
p = ui
为了简便，设电流的初相角 θ =0，则电阻上电流、电压可写为
i = I m sinω t u = U m sinω t
它含有两部分，第一部分是常量，第二部分是两倍于电压频率的周期量。图 4-44 画出了瞬时功率随时间变化的曲线。由于 u 和 i 总是同方向的，故瞬时功率恒为正。它表明电阻总是吸收能量。
如果在一个周期内对瞬时功率取平均值，则称为平均功率或有功功率，用大写字母 P 表示，即
将式（4-43）代入上式，得
由于
U=RI，上式又可以写为
2. 电感 L 的平均功率
设电感中电流 i = I m sin ωt， 则电感上电压应超前电流 90°，即
u = U m sin（ ωt +90°）
所以电感元件上的瞬时功率
上式说明电感中的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的两倍。它的平均功率
这就是说，纯电感元件是不吸收有功功率的。
电感元件上瞬时功率的最大值称为无功功率（reactive power），以 Q L 表示，
无功功率的单位为乏（var）。无功功率用来衡量电源与电感元件间能量交换的最大速率。
3. 电容 C 的平均功率
在正弦稳态下，设电容上的电压 u = U m sin ωt， 由于电容上的电流超前于电压 90°，所以
i = I m sin（ ωt +90°）
在电容元件上的瞬时功率
该瞬时功率的变化与电感的情形一样，它的平均功率
这说明电容元件也是不消耗电能的。
电容元件上瞬时功率的最大值称为电容的无功功率，以 Q C 表示。即
单位为乏（var）
4.6.2 复功率
设阻抗
其电压、电流的相量分别为
则乘积
定义为阻抗 Z 的复功率（complex power），用
表示，即
式中，
是
的共轭复数。上式的含义说明如下
式中
P 称为平均功率或有功功率（real power）， Q 称为无功功率。由于
这就是说，负载吸收的平均功率就是阻抗 Z 的电阻分量吸收的功率。而
也就是说，负载吸收的无功功率恰是阻抗 Z 的电抗分量吸收的功率。
由上可知，平均功率的最大值为 UI 。通常把这个最大值称为视在功率（apparent power）或功率容量，即
S = UI
视在功率的单位为伏安（V·A）。
小结
1. 电容元件和电感元件 u - i 关系分别为
所以电容对直流电压相当于开路；电感对直流电流相当于短路。
2. R、L、C 三元件的电压与电流相量关系见表 4-1。
表 4-1 R、L、C 元件的电压与电流相量关系
3. 阻抗为
其中阻抗的模和相角分别为
导纳为
4. 相量形式的欧姆定律、KCL 和 KVL 分别为
对于相量模型，分析电阻电路的各种方法，如分流、分压、网孔法、节点法、电路定理等均可以应用。
5. 在正弦稳态电路中，电容和电感不消耗功率，阻抗 Z 消耗的功率（平均功率，有功功率）为电阻分量消耗的功率。即
P=UIcos（θ u -θ i ）
当负载阻抗 Z L 与电源内阻抗为共轭复数时（共轭匹配），负载可获得最大功率，此时
式中， U S 为电源电压的有效值； R L 为负载阻抗的电阻分量。
}