利用特征函数推导卡方分布

随机變量之和的概率密度函数以及近似表达式

李建军　　河北大学数学与计算机学院　　０７１０００

的概率密度函数可以写成

为了求出的概率密度函数我们首先得到它的特征函数

交换（７）　中积分和乘积的顺序，得到的近似表达式

其中ｉ定义为的特征函数

结论：在本文Φ，我们利用特征函数求解了多个相互独立的卡方分布随机变量和的概率密度函数以及概率密度函数的近似表达式。这些表达式可以直接应用于通信信号处理等领域，有很强的通用性

，ｋ＝１…，Ｎ中共有不同的Ｎ１，ｊ＝１…，　Ｎ１　的重数满足

其中的系数ｑｊ，ｌ则可以通过一组方程来得到［２］

推导过程：假设ａｊ，ｋ　ｊ＝１，…２Ｍ，ｋ＝１…，Ｎ　为相互独立均值為０方差为１的高斯分布的随机变量。

能够求出的概率密度函数

看出，是Ｎ个自由度２Ｍ的卡方分布随机变量的加权和那么如何求出嘚概率密度函数呢？

我们发现（６）式的计算有时候也不是很容易因此我们继续推导达式。对特征函