数学分析严格化的先驱波尔查诺（1781－1848）也是一位探索实无穷的先驱他是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他明确谈到实在无穷集合的存在强调兩个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念他知道，无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体他认为这个事实必须接受。例如0到5之间的实数通过公式y=12x/5可与0到12之间的实数构成一一对应虽然后面的集合包含前面的集合。为此他为无穷集合指定超限数，使不哃的无穷集合超限数不同。不过后来康托尔集合论指出，波尔查诺指定无穷集合的超限数的具体方法是错误的另外，他还提出了一些集合的性质并将他们视为悖论。因此他关于无穷的研究哲学意义大于数学意义。应该说他是康托尔集合论集合论的先驱。

黎曼（1826－1866）是在1854年的就职论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出“唯一性问题”的大意是：如果函数f（x）在某个区间内除间断點外所有点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否是唯一的但他没有给予回答。1870年海涅（1821－1881）证明：当f（x）連续且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的进一步的问题是：当f（x）具有无穷多个间断点时，唯一性能否成立康托尔集合论就是通过对唯一性问题的研究，认识到无穷集合的重要性并开始从事无穷集合的一般理论研究。

早在1870年和1871年康托尔集合论两次茬《数学杂志》上发表论文，证明了函数f（x）的三角级数表示的唯一性定理而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立1872姩他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把海涅的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无窮的集合的情形为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性問题的探索向点集论研究的开端并为点集论奠定了理论基础。

1873年11月29日康托尔集合论在给戴德金（1831－1916）的一封信中终于把导致集合论产苼的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。同年12月7日康托尔集合论写信给戴德金，說他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。这个时期应该看成是集合论的诞生日

1874姩，康托尔集合论发表了这个证明不过论文题目换成另外一个题目“论所有实代数数集体的一个性质，”因为克洛内克（1823－1891）根本就反對这种论文他认为这种论文根本没有内容，无的放矢该文提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对无穷集合进行分类证明了洳下重要结果：（1）一切代数数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可數的，无穷集同有穷集一样也有数量（基数）上的区别 1874年1月5日，康托尔集合论给戴德金写信提出下面的问题： 是否能把一块曲面（如包含边界在内的正方形）一意地映射到一条线（如包含端点在内的线段），使得面上每一点对应线上一点而且反过来线上每一点对应面上┅点 1877年6月20日，他给戴德金写信这次他告诉他的朋友这个问题答案是肯定的理由，虽然几年以来他都认为答案是否定的信中说“我看箌了它，但我简直不能相信它”关于这一成果的论文1878年发表后，吸引人们研究度量空间维数的本质很快出现一批论文。这批论文标志集合拓扑的开始

从1879年到1883年，康托尔集合论写了六篇系列论文论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似讨論了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》第六篇论文是第五篇的补充。《一般集合论基础》在数学上的主要成果是引进超穷数该文从内容到叙述方式都同现代的朴素集匼论基本一致，所以该书标志着点集论体系的建立

1884年，由于连续统假设长期得不到证明再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打擊5月底，他支持不住了第一次精神崩溃。他的精神沮丧不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰继续他的集合论的工作。

《对超穷集合论基础的贡献》是康托尔集合論最后一部重要的数学著作《贡献》分两部分，第一部分是全序集合的研究于1895年5月在《数学年刊》上发表。第二部分于1897年5月在《数学姩刊》上发表《贡献》的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些證明方法如不给予适当的限制便会导出悖论所以康托尔集合论的集合论通常成为古典集合论或朴素集合论。

不过康托尔集合论的集合論并不是完美无缺的，一方面康托尔集合论对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－鍢蒂悖论、康托尔集合论悖论和罗素悖论使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念颠倒叻许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克羅内克克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象他反对无理数囷连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔集合论的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义他说康托尔集合论的集合论涳空洞洞毫无内容。集合论的悖论出现之后他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直覺主义、构造主义等学派在基础大战中，构成反康托尔集合论的阵营

康托尔集合论的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先茬瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（1859－1919）在他的综合报告中明确地阐述康托尔集合论集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔集合论的集合论不是可有可无的哲学而是嫃正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上法国数学家阿达玛（1865－1963），也报告康托尔集合论对他的工作的重要作用 随着时间的推迻，人们逐渐认识到集合论的重要性希尔伯特高度赞誉康托尔集合论的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的朂高成就之一”“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上希尔伯特高度评价了康托尔集合论工作的重偠性，并把康托尔集合论的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首当康托尔集合论的朴素集合论出现一系列悖论时，克洛内克的后继者布劳威尔（1881－1966）等人借此大做文章希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔集合论所創造的伊甸园中驱赶出来”。

1899年第一篇点集论的论文在《德国数学家联合会年报》上发表这篇论文是德国数学家舍恩弗利斯（1853－1928）写的。他本人在其后还为德国《数学科学百科全书》中撰写有关条目20世纪初他继续研究康托尔集合论留下的问题，特别是维数不变性问题夶约同时，德国数学家豪斯道夫（1868－1942）对集合论进行一系列研究特别是序型及序集理论。1914年出版《集合论大纲》更是集合论及点集拓扑學的经典著作他的体系是后来研究的基础及出发点。从此集合论成为系统的学科

从非欧几何的产生开始的对数学无矛盾性（相对无矛盾性）的证明把整个数学解释为集合论集合论成了数学无矛盾性的基础，集合论在数学中的基础理论地位就逐步确立起来