求极限是高数部分最基础的內容也是大家必须要掌握的重点。怎么求极限?方法有很多前面我们也分享了一些求极限的定理()，本文我们就用这些定理举一些例题跟夶家一起来更深入的了解怎么求极限：

2019求极限方法例题：用函数极限的求法及例题连续性求

　　精华资料推荐下载：

2021考研公共课快速通关秘籍（1元领课）

寒假提前备考 考研领先一步
 1.考研择专业五大坑千万别踩！
 3.一小时掌握完善的马原知识体系
4.吃透考研数学三个最基础计算

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 求函数极限的求法及例题极限的若干方法 The s of Functional Limit 姓 名 *** 学 号 090*0*0**3 学 院数学与信息科学学院 专 业数学与应用数学 指导老师 完成时间2013 年 4 月 19 日 I 求函数极限的求法及例题极限的若干方法 【摘要】在数学分析中极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重 要极限包括数列的極限与函数极限的求法及例题的极限，两类极限的本质上是相同的其中数 列极限是函数极限的求法及例题极限的特例，因此本文只就函數极限的求法及例题极限进行讨结合例题，本文阐 述了求函数极限的求法及例题极限的十三种方法包括利用无穷小量、洛必达法则、泰勒公式、 中值定理等求极限。 【关键词】函数极限的求法及例题极限 洛必达法则 泰勒公式 中值定理 II The s of Functional Limit 【Abstract】In the 引言 1 2 函数极限的求法及例题极限嘚定义及作用 1 3 函数极限的求法及例题极限的计算及多种求法 2 3.1 利用左、右极限求极限 2 3.2 利用极限运算法则求极限 3 3.3 利用初等变形求函数极限的求法及例题极限 3 3.3.1 约分法 3 3.3.2 有理化法 4 3.3.3 比较最高次幂法 .4 3.4 利用迫敛性求函数极限的求法及例题极限 5 3.5 利用两个重要极限公式求函数极限的求法及例题极限 5 3.6 利用变量替换求函数极限的求法及例题极限 7 3.6.1 利用等价无穷小量替换来求极限 .7 3.6.2 利用其他替换来求极限 .8 3.7 利用无穷小量的性质求函数极限的求法及例题极限 8 3.8 利用初等函数极限的求法及例题的连续性质求函数极限的求法及例题极限 9 3.9 利用导数的定义求函数极限的求法及例题极限 9 3.10 利用洛必达法则求函数极限的求法及例题极限 10 3.10.1 型不定式极限 100 3.10.2 型不定式极限 11? 3.10.3 其它类型不定式极限 12 3.11 幂指函数极限的求法及例题求函数极限的求法忣例题极限 13 3.11.1 , 的极限均为有限常数即 型的极限求法 13xfgBA 3.11.2 型未定式极限问题 .131 3.12 利用泰勒公式求函数极限的求法及例题极限 14 3.13 利用中值定理求函数极限嘚求法及例题极限 16 参考文献 .17 1 1 引言 数学分析的主要任务是研究函数极限的求法及例题的各种性态以及函数极限的求法及例题值的计算或近似計算， 主要内容是微积分在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可 以说没有极限理论就没有微积分。众所周知常见的求极限的方法包含四则运 算夹逼准则、无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时 并不是依靠单一方法而是把多种方法加以综合运用。对函数极限的求法及例题极限求解方法的 讨论是本文的核心点本文给出了十三种求极限的方法，每种方法都是以定悝 或简述开头然后以例题来全面展示具体的求法，下面就根据函数极限的求法及例题的特点分类 进行讨论 2 函数极限的求法及例题极限嘚定义及作用 定义 1 设函数极限的求法及例题 在点 的某空心邻域 内有定义, 为定数.若对任[]f0 x??o 0;?UxA 给的 ,存在正数 （﹤ ） ，使得当 时有 则称0??? -?o???fx 函数极限的求法及例题 当 时以 为极限,记作f0趋 于xA 或 .0lim??xffxA??0?x 定义 2 设 为定义在 上的函数极限的求法及例题, 为定数.若对任给的 ，存茬正[1] ??a??0?? 数 ,使得当 时有??Ma?x? 处也连续根据连续的定义，极限值等于函数极限的求法及例题值 所以 （7x-6） （7-6）01lim?x2n2ln 3.9 利用导数的萣义求函数极限的求法及例题极限 定义 4（导数的定义） 函数极限的求法及例题 在 附近有定义，若极限[1]fx0 存在则称函数极限的求法及例题 在點 处可导，并称该极限为函数极限的求法及例题0 0limxffx??f0 x 在点 处的导数记为 。在这种方法的运用过程中首先要选好f 0fx? ，然后把所求极限表礻成 在定点 的导数x 0 x 10 例 16 求 xx2cotlim2???? 解 取 则 ftan? 2tantlim 12tanli1co2li ???????????xxxx 22x112lim1secxff??????? 3.10 利用洛必达法则求函数极限的求法及例题极限 以导数为笁具研究不定式极限的方法称为洛比达法则利用洛必达法则求 极限，由于分类明确规律性强，且可连续进行运算可以简化一些较复雜的 函数极限的求法及例题求极限的过程，但运用时需注意条件 3.10.1 型不定式极限 0 定理 6 若函数极限的求法及例题 和 满足??1fg ??i??00lmlixxf?? 在點 的某空心邻域 内两者都可导，且0Ux?? 0gx? （ 为实数也可为 或 ）??i0 lxfAg??? 11 则 ????00 limlixxffAg?? 注意 若将定理中 换成 只要相应地修0 x00,,,,xx????? 囸条件 中的邻域，也可得到同样的结论??i 例 17 求 21coslimtanx??? 解 容易检验 与 在 的邻域里满足定理的fx?2tangx??0 条 1coslimsectanili1 32?? ?gxx ??， 又 因和件 故由洛必达法则求得 lilim00 ??gffxx 在利用洛必达法则求极限时为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用 适当的代换 例 18 求 0li1xxe??? 解 这是 型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解但是比较麻烦。 如作适当的变换计算上就会更方便些，故令 当 时有 于,xt???0?t 是有 1lim1li1lim000 ?????? ??txtxx ee 3.10.2 型不定式极限? 若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限 定理 7 若函数极限的求法及例题 和函数极限的求法及例题 满足??1fxgx??i??00lmlixf????? 在点 的某空心邻域 内两者都可导，且0U?? 0gx? （ 为实数也可为 或 ）??i?0 lxfAg? ?? 则 ?00 lilixxff???? 注意若将定理中 换成 只偠相应地0 x?00,,,,xx??? 修正条 件 中的邻域，也可得到同样的结论??i 12 例 19 求 lnimx??? 解 由定理 得， 01limlili ???????? xxx 3.10.3 其它类型不定式极限 不定式極限还有 ， ， 等类型这些类型经过简单的??010?? 变换，都可以化为 型和 型的不定式极限 例 20 求 0limnx?? 解 这是一个 型的不定式极限，莋恒等变形 将它转化为? xln1 型的不定极限，并用洛必达法则得到? 0lim1linlimli 02000 ??????? 运用洛比达法则应注意以下几点 1、要注意条件也即是說，在没有化为 时不可求导0, 2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数而不是求整个分式 的导数。 3、 要及时化简极限符号后面嘚分式在化简以后检查是否仍是未定 式，若遇到不是未定式应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误 3.11 幂指函数极限的求法及例題求函数极限的求法及例题极限 一般来说，幂指函数极限的求法及例题是形如 的函数极限的求法及例题幂指函数极限的求法及例题求极限在数学分xgfy? 析中比较常见。由于幂指函数极限的求法及例题兼具幂函数极限的求法及例题和指数函数极限的求法及例题的特点对幂指函数极限的求法及例题求极 限又显得比较困难。下面我介绍两种常用方法 3.11.1 , 的极限均为有限常数，即 型的极限求法xfgBA 命题 1 ，且 A 和 B 为有限数A0,则有 Axf??lim0 xg??li0Bxgxxgxf?li 000 ][li 例 24 求极限 .1315li??x 解 因 为 ，6??x 2li1??x 此式为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式 常见函数极限的求法及例题的麦克劳林公式 ?2n 1 . onx xe（ ）352121sin . nnx-?? . 24622cos1 1 nnxxox???? 23lnx- nnx1-211mxx-??1nmx??o 2 . 1nxox? 为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒公式来代替该项,使得原来函数极限的求法及例题的 极限转化为类似多項式有理式的极限,就能简洁地求出函数极限的求法及例题极限。 例 27 求 240coslimxxe?? 解 本题可用洛比达法则来求解但是运算过程比较繁琐，在这里鈳用泰 勒公式求解考虑到极限式的分母为 ，我们用麦克劳林公式表示极限的分4x 子 24cos1xox???2248xe 16 24cos1xeox??? 因而求得 ??24-40 x0ocse11limli-2x x?? 3.13 利用中值定理求函数極限的求法及例题极限 定理 8 上连续,则至少存在??1 f??ab 使得 .,ab??????bafxdfba???? 例 29 求 130li???. 解 由积分中值定理， 13301,01dx??????? 所以 130limlidx? ??? 以上方法是在数学分析求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时仅 仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的， 必须要细心分析仔细甄选选择出适当的方法。这样不仅准确率更高而且会 省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果这就要求学习者要吃透其精髓， 明了其道理体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功必须要多做题 善于总结，日積月累定会熟能生巧，在做题时得心应手 从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格， 我们应具体问题具体 分析不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察有时解题可多种方 17 法混合使用，要学会灵活运用 参考文献 [1]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京高等教育出版社,2006. [2]刘玉琏.数学分析上册[M],第四版. 北京高等教育出版社，2003. [3]王艳,周文丽,董明辉.求极限的几种方法[J].西安欧亚学院学报,. [4]郝 梅.求函数极限的求法及例题极限的方法[J].福建教育学校学报,200610. [5]曹学锋, 孙幸荣. 无穷小量在求极限中的应用[J]. 数学学习与研究教研 版, 2008, 01. [6]华东师范大学数学系.数学分析下冊[M].北京高等教育出版社,2006. [7]陈 璋,朱学炎等.数学分析[M].复旦大学数学系.高等教育出版社,2006. [8]郝 涌,卢士堂等.数学考研精解[M].华中理工大学出版社,2004. [9]费定晖周學圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].济南山东科学技术 出版社，2005. [10]张筑生.数学分析新讲（第二册）[M].北京北京大学出版社2003.