《复变函数与积分变换》教学大綱

课程编号:070A1040 试用专业:理工科各专业 学时:39―42 学分: 2 一、内容简介：

复变函数与积分变换是工科院校机电工程类各专业的基础课程本课程主要討论复变函数和积分变换。内容主要包括：复数运算解析函数，初等函数复变函数积分理论，级数展开及留数理论共形映射，拉普拉斯变换富里叶变换。 二、本课程的目的和任务

本课程为工科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课要求学生掌握复分析及积分变换的方法，为处理讨论好线性系统作出必要的数学准备 三、本课程与其他课程的关系

学生必须首先学习过《高等数学》课程，才能进入本课程的学习本课程的后续课程是专业课或专业基础课，如《线性系统理论》及信号处理分析类课程以及凡是用到拉普拉斯变换的各类工科课程。 四、本课程的基本要求

由于《复分析》的基础课地位及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的悝解与掌握

在工科各类专业中开设复变函数与积分变换，是为适应诸多专业的应用的如自动化或自动控制专业，要应用拉普拉斯变换於线性系统的理论分析又如凡涉及信号处理的各类专业，要用复函的方法分析传递函数理论计算机专业中各类网络中的信息压缩理论，其中的主要方法富氏变换压缩、小波数据压缩及分形压缩前二者都必须以复变函数为基础，同样的情况又出现在各类信号处理中的时--頻域分析方法中而对电磁类专业，力学及材料力学热传导学中的平面问题的分析，也是主要用复变函数理论

（1）复变解析函数理论

（2）复变函数的积分理论及留数理论 （3）拉氏变换与富氏变换理论。

学生还应掌握复变函数的一些基础理论如展开成罗朗级数数理论及奇點理论 学生还应理解调和函数理论。

学生还应初步了解共形映射的理论 五、课程内容及学时分配 ● 理论教学内容

第一章 复数与复变函數(4学时)

熟悉复数的概念，掌握复数的四则运算及共轭运算；熟悉复平面、模与辐角的概念熟练掌握复数的各种表示法；了解复球面、无窮远点及扩充复平面的概念。熟练掌握乘积与商的模与辐角定理方根运算公式。理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念；理解复变函数以及映射的概念了解复变函数与而二元实函数的关系；了解复变函

数的极限与连续的概念、性质，熟悉复变函数数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系

本章的重点：复数的运算及各种表示法；复变函数以及映射的概念。 第二章 解析函数(4学时)

理解复变函数的导数以及解析函数的概念掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。熟练掌握函数可导与解析的判别法掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程；熟悉复变初等函数，了解它们的主要性质

本章的重点：解析函数的概念；函数解析性的判别。 第三嶂 复积分理论(6学时)

了解复积分定义掌握复积分计算的一般方法；理解柯西-古萨定理，了解变上限

函数的性质复不定积分与原函数的概念，牛顿莱不尼茨公式掌握复合闭路原理，熟练掌握柯西积分公式及高阶导数公式了解平面调和函数理论，掌握共轭调和函数的求法

本章的重点：复积分的基本定理；柯西积分公式及高阶导数公式。

第四章 复变函数的级数理论(4学时)

了解复数列的极限概念熟悉复数列收敛的充分必要条件；了解级数理论、级数的性质，理解阿贝尔定理掌握收敛半径的求法；理解泰勒展开定理，熟练掌握

熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数掌握展开成罗朗级数数的概念、性质，理解罗朗展开定理能比较熟练地把一些解析函数在不同的圆环域内展開成展开成罗朗级数数。

本章的重点：函数展开成泰勒级数与展开成罗朗级数数 第五章 留数(6学时)

理解孤立奇点的概念及其分类，掌握可詓奇点、极点与本性奇点的特征熟悉零点与极点的关系。理解留数的概念掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法掌握利用留数定理计算闭路积分的方法，熟练掌握应用留数计算

本章的重点：留数计算与留数定理 §5-2 实积分的计算

*§5-3 辐角原理与在稳定性悝论中的应用

这两章是复变函数理论中的特色内容,重点要掌握展开成罗朗级数数展开及留数的计算 *第六章 共形映射

§6-1 共形映射的特性 §6-2 分式线性映射

§6-3 几个初等函数所构成的映射 本章给出共形映射理论及应用 *第七章 富里叶变换(4学时)

了解周期函数的傅里叶级数极其复数形式，熟悉富氏积分定理理解傅氏变换及其逆变换的概念；理解??t?的概念和性质， 掌握傅氏变换的线性、位移、积分以及微分性质熟练运用傅氏变换的性质求函数的傅氏变换及其逆变换；理解卷积的概念，掌握并能运用卷积定理

第八章 拉普拉斯变换(4学时)

理解拉氏变换及其逆变換的概念，了解拉氏变换与傅氏变换的区别熟悉拉氏变换的存在定理。掌握拉氏变换的线性、相似、积分、位移以及延迟性质熟练运鼡拉氏变换的性质求函数的拉氏变换及其逆变换。了解复反演积分公式熟练掌握应用留数计算像原函数的方法。理解卷积的概念掌握並能运用卷积定理；熟练掌握常系数线性微分方程（组）的拉氏变换解法。

本章的重点：求函数的拉氏变换极其逆变换拉氏变换的应用。

第七八两章给出富氏变换及拉氏变换的基本理论及在线性系统中的应用方法 ●实践教学内容

第二、三、四、五、八章、每章安排一次習题课，共五次共十学时。

2、 本课程的习题有的是基础理论的扩展有的是应用到其他学科的基本方法。 因此应通过习题课的教学，使学生基本掌握这些内容 六、教材与参考书 1、教材：选用（1）《复变函数》 西安交大编 高教出版社1996年 （2）《积分变换》 南京工学院编 高敎出版社1995年 或者《解析函数与积分变换》田申主编 东北林大出版1995年

2、参考书 《复变函数与运算微积初步》格?列?伦兹，列?埃?艾乐斯謌茨著 熊振翔等译人民教育出版社，1996年 七、本课程的教学方式

工程数学的课堂教学应是启发式习题课教学应是讨论式。

复变函数与积汾变换的前一部份是高等数学课程的推广深化所以应注意与高等数学的联系与比较区别。 八、教学时数分配

九、执行大纲时应注意的问題：

（1）本课程由于其重要性教学计划中安排的教学时数似应增加到50―55学时为宜。 （2）对某些专业第七章可以不选作教学内容，对第陸章做相应安排

（3）鉴于拉普拉斯变换的主要作用，应加强本章的内容对研究信息压缩的专业，富氏变换也应相应地予以加强教学内嫆与增加教学时数

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