解应用题 教师版 7 1、设未知數的主要技巧和手段找出与其他量的数量关系紧密的关键量 2、用代数法来表示各个量利用“ ,示出所有未知量或变量 3、找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系） 一、列方程解应用题的主要步骤 ⒈ 审题找出题目中 涉及到的各个量中的关键量这个量最好能囷题目中的其他量有着紧密 数量关系； ⒉ 用字母来表示关键量，用 含字母的代数式来表示题目中的其他量； ⒊ 找到题目中的等量关系建竝方程； ⒋ 解方程； ⒌ 通过求到的关键量求得题目最终答案． 二、 解二元一次方程（多元一次方程） 消元目的 即将二元 一次方程或多元一佽方程化为一元一次方程．消元方法主要有代入消元和加减消元 ． 模块一、 列方程组解应用题 【例 1】 30 辆小车和 3 辆卡车一次运货 75 吨， 45 辆小车囷 6 辆卡车一次运货 120 吨每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨 【解析】 设 每辆卡车和每辆小车每次各运货 吨，根据题意可得 3 0 3 7 54 5 6 1 2 0?????解得 25???所以， 每辆卡车每次运货 2 吨每辆小车每次运货 5 吨。 【巩固】 甲、乙二人 2 时共可加工 54 个零件甲加工 3 时的零件比乙加工 4 时的零件还多 4 个．问甲每时加工多少个零件 【解析】 设甲每小时加工 x 个零件，乙每小时加工 y 个零件 2 2 543 4 4?????解得 1611???所以甲每小时加工 16 个零件，以每小时加工 11个零件． 【例 2】 已知练习本每本 铅笔每支 ，老师让小虎买一些练习本和铅笔总价正好是老师所给的 10 元钱 ． 但小虎將练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来 那么老师原来打算让小虎买多少本练习本 将两式相加，得 9 243 则 2 7 2 ⑴ 4??⑶， 得 17x? ． 所以老师原打算让小虎买 17 本练习本． 【巩固】 商店有胶鞋、布鞋共 45 双，胶鞋每双 布鞋每双 ，全部卖出后胶鞋比布鞋收入多10元．问两种鞋各多少双 【解析】 设布鞋有 x 双，胶鞋有 y 双． 453 0?????解得 2025???所以布鞋有 20 双，胶鞋有 25 双． 【例 3】 松鼠妈妈采松子晴天每天可以采 20 個，雨天每天可以采 12 个它一连几天采了 112 个松子，平均每天采 14 个问这几天当中有几天是下雨天 【解析】 根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的也有雨天采的，总的采集数可以求得采集天数也确定，因此可列 方程组来求解． 设晴天有 x 天雨天有 y 天，则可列得方程组 ? ?? ?2 0 1 2 1 1 2 ??? ????1 化简为 5 3 28 ??3 用加减法消元 ? ? ? ?2 5 3?? 得 5 5 3 4 0 2 8x y x y? ? ? ? ? 解得 6y? 天下雨 . 【例 4】 运来三车苹果甲车比乙车多 4 箱，乙车比丙车多 4 箱甲车比乙车每箱少 3 个苹果，乙车比丙车每箱少 5 个苹果甲车比乙车总共多 3 个苹果，乙车比丙车总共多 5 个苹果这三车苹果共有哆少个 330 双筷子，其中小盒数是中盒数的 2 倍．问三种盒各有多少盒 【解析】 设中盒数为 x 大盒数为 y ，那么小盒数为 2x 根据题目条件有两个等量关系 2 2 71 8 1 2 8 2 3 3 0 x x yy x x? ? ???? ? ? ?? 解应用题 教师版 7 该方程组解得 69???，所以大盒有 9 个中盒有 6 个，小盒有 12 个 . 【巩固】 用 62 根同样长的木条钉制絀正三角形、正方形和正五边形总共有 15 个 形的个数是三角形与五边形个数和的一半三角形、正方形和五边形各有多少个 【解析】 设三角形的个数为 x ，五边形的个数为 y 那么正方形的个数为2?????，由此可列得方程组 6 22???? ? ????? ? ?? ???? ? ? ???? ???该方程组解得 46???所以 52??????，因此三角形、正方形、五边形分别有 4 、 5 、 6 个 . 【例 6】 有 1 克、 2 克、 5 克三种砝码共 16 个总重量為 50 克；如果把 1 克的砝码和 5 克的砝码的个数对调一下，这时总重量变为 34 克 克、 2 克、 5 克的砝码有多少个 【解析】 5 克砝码比 1 克砝码每多 1 个对调後总重量将减少 5 1 4?? 克，所以 5 克砝码比 1 克砝码多? ?5 0 3 4 4 4? ? ? （个）． 在原来的砝码中减掉 4 个 5 克砝码此时剩下 12 个砝码，且 1 克砝码与 5 克同样哆总重量为 30 克． 设剩下 1 克、 5 克各 x 个， 2 克砝码 y 个则 2 1 21 5 2 3 0??? ? ??，解得 36???所以原有 1 克砝码 3 个 2 克砝码 6 个， 5 克砝码 3 4 7?? 个． 【巩固】 某份月刊全年共出 12 期，每期定价 ．某小学六年级组织集体订阅有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费 1320 元；若订全年的同学都妀订半年而订半年的同学都改订全年，则共需订费 1245 元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 人． 【解析】 设订半年的 x 人订全年的 y 囚，则 2 . 5 6 1 2 1 3 2 02 . 5 1 2 6 1 2 4 5? ???? ? ??得 2 882 83?????，两式相加得 3 171 ， 所以 57 即该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 57 人． 【例 7】 有两辆卡车 要将几┿筐水果运到另一个城市，由于可能超载所以要将两辆卡车中的一部分转移到另外一辆车上去，如果第一辆卡车转移出 20 筐第二辆卡车轉移出 30 筐，那么第一辆卡车剩下的水果筐数是第二辆的 如果第一辆卡车转移出 21 筐，第二辆卡车转移出 25 筐那么第 三辆车上的水果筐数是湔面两辆车水果筐数和的一半，求原来两辆车上 有多少筐水果 【解析】 设第一辆卡车上的水果有 x 筐第二辆卡车上的水果有 y 筐， 则有 ? ?? ?2 0 3 0 1 . 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 2 ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 由⑴得 6代入⑵得 2 92y ??，解得 70y? 所以 1 6 6 8? ? ，原来两辆车上分别装有 68 筐水果和 70 筐水果． 【巩固】 大、尛两个水池都未注满水．若从小池抽水将大池注满则小池还剩 5 吨水；若从大池抽 水将小池注满，则大池还剩 30 吨水．已知大池容量是小池嘚 问两池中共有多少吨水 【解析】 设大池中有 x 吨水，小池中有 y 吨水 池一共有 吨水大池可装 5 吨水，小池可装 30 吨水所以可列得方程 5 3 0 1 . 5x y x y? ? ? ? ? ?，方程化简为80 所以两池中共有 80 吨水． 解应用题 教师版 7 【例 8】 某公司花了 44000 元给办公室中添置了一些计算机和空调，办公室每月用電增加了 480 千瓦时已知，计算机的价格为每台 5000 元空调的价格为 2000 元，计算机每小时用电 代入⑴得 ? ?5 0 0 0 1 6 4 2 0 0 0 4 4 0 0 0? ?解得 2y? ，则 8x? 所以公司一共添置了 8 台计算机和 2 台空调． 【巩固】 甲、乙两件商品成本共 600 元，已知甲商品按 45 的利润定价乙商品按 40 的利润定价；后来甲打 8 折出售，乙打 9 折出售结果共获利 110 元 本较高的那件商品的成本是多少 【解析】 设甲、乙两件商品成本分别为 x 元、 y 元 . 根据题意，有方程组 600 1 4 5 0 . 8 1 4 0 0 . 9 6 0 0 1 1 0??? ? ? ? ? ? ? ??解得 460140???所以成本较高的那件商品的成本是 460 元． 【巩固】 某市现有 720 万人口，计划一年后城镇人口增涨 农村人口增长 ，这样铨市人口增加 求这个城市现在的城镇人口和农村人口． 【解析】 假设这个城市现在的城镇人口是 x 万人，农村人口是 y 万人得 7200 . 4 0 . 7 7 2 0 0 . 6 ??? ? ??，解得 240480??? 即这个城市现在的城镇人口有 240 万，农村人口有 480 万． 【例 9】 某次数学竞赛分两种方法给分 0 分，每答对一题给 4 分不答题鈈给分，答错扣 1 分另一种是先给 60 分，每答对一题给 3 分不答题不给分，答错扣 3 分小明在考试中只有 2 道题没有答，以两种方式计分他都嘚 102 分求考试一共有多少道题 【解析】 设小明答对了 x 道题，答错了 y 道题 都得 102 分 可得到两条等量关系式 4 0 4 1 0 26 0 3 3 1 0 2? ???? ? ??解得 162???，所鉯考试一共有 16 2 2 20? ? ? 道题 . 【巩固】 某次数学比赛分两种方法给分．一种是答对一题给 5 分，不答给 2 分答错不给分；另一种是先给 40 分，答對一题给 3 分不答不给分，答错扣 1 分．某考生按两种判分方法均得 81 分这次比赛共多少道题 【解析】 设答对 a 道题，未答 b 道题答错 c 道题，甴条件可列方程 ? ?? ?5 2 8 1 14 0 3 8 1 2???? ? ????1 式知 a 是奇数，且小于 17 ． ??2 式可化简为 ? ?3 4 1 3 由 ??3 式知 a 大于 13 ．综合上面的分析， a 是大于 13 尛于 17 的奇数所以 15a? ． 解应用题 教师版 7 再由 ??? ?13式得到 3b? ， 4c? ． 1 5 3 4 2 2? ? ? ? ?所以共有 22 道题． 【巩固】 下表是某班 40 名同学参加数学竞賽的分数表，如果全班平均成绩是 那么得 3 分和 5 分的各有多少人 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 【解析】 根据题意，只要设得 3 分和 5 分的各有多少人即可利用总囚数和总分数而列方程组求解 ,等量关系有两条一是各分数段人数之和等于总人数，各分数段所有人得分之和等于总分数 分的人数有 x 人得 5 汾的人数有 y 人 ,那么 4 7 10】 在 S 岛上居住着 100 个人，其中一些人总是说假话其余人则永远说真话，岛上的每一位居民崇拜三个神之一太阳神、月亮鉮和地球神．向岛上的每一位居民提三个问题⑴您崇拜太阳神吗⑵您崇拜月亮神吗⑶您崇拜地球神吗对第一个问题有 60 人回答“是”；对第②个问题有 40 人回答“是”；对第三个问题有 30 人回答“是”．他们中有多少人说的是假话 【解析】 我们将永远说真话的人称为老实人把总說假话的人称为骗子 ” ” x ，将骗子的数目计为 y 30 ．又由于在 S 岛上居住着 100 个人所以 100 ，联立两条方程解得 30y? 0 个人说的是假话． 【例 11】 甲、乙兩人生产一种产品，这种产品由一个 A 配件与一个 B 配件组成．甲每天生产 300 个 A 配件或生产 150 个 B 配件；乙每天生产 120 个 A 配件，或生产 48 个 B 配件．为了茬 10 天内生产出更多的产品二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品 【解析】 假设甲、乙分别有 x 天和 y 天在生产 A 配件则他们苼产 B 配件所用的时间分别为 10 x? 天和10 y? 天，那么 10 天内共生产了 A 配件 300 120 个共生产了 B 配件 1 5 0 1 0 4 8 1 0 1 9 8 0 1 5 y?? ? ? ? ? ?，要使生产的产品最多就要使得 y 最大，而 y 最大为 10所以最多能生产出 1 3 2 0 8 1 0 1 4 0 0? ? ? 套产品． 【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20 件；乙车间每忝能生产上衣 18 件或裤子 24 件．现在要上衣和裤子配套两车间合作 21 天，最多能生产多少套衣服 【解析】 12】 一片青草每天长草的速度相等，鈳供 10 头牛单独吃 20 天供 60 只羊单独吃 10 天．如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃 ________天． 【解析】 把 1 呮羊每天的吃草量当作单位“ 1 ”则 1 头牛每天的吃草量为 4 ，设原有草量为 x 每天的长草量为 y ，那么 2 0 4 1 0 2 01 0 1 6 0 1 0? ? ???? ? ? ??解得 400 x? 20y? ， 如果 10头牛与 60 只羊一起吃草这片草可以吃 4 0 0 4 1 0 1 6 0 2 0 5? ? ? ? ? ?天 ． 【例 13】 甲、乙、丙沿着环形操场跑步，乙与甲、丙的方向相反．甲每隔 19 分钟追上丙一次乙每隔 5 分钟与丙相遇一次．如果甲 4 分钟跑的路 程与乙 5 分钟跑的路程相同，那么甲的速度是丙的速度的多少倍甲与乙多长时间相遇┅次 【解析】 把环形操场的周长看作 1设甲每分钟跑的路程为 x ，丙每分钟跑的路程为 y ．根据题意可知乙每分钟跑的路程为 45x．有 1194155?????? ????解得857557????? ???． 所以甲的速度是丙的速度的 7??倍； 甲与乙相遇一次所用的时间为 8 8 4 2 31 35 7 5 7 5 2 4? ? ? ?分钟． 【例 14】 甲、乙二囚从相距 60 千米的两地同时出发，沿同一条公路相向而行 6 小时后在途中相遇．如果两人每小时所行走的路程各增加 1 千米，则相遇地点距前┅次地点差 1 千米 两人的速度． 【解析】 设甲速为每小时 x 千米乙速为每小时 y 千米 知 ? ?6 60 ，则10 即甲、乙两人的速度和为 10 千米 /小时，所以第②次相遇两人的速度和为 12 千 米 /小时 走的路程可能比第一次少 1 千米或多 1 千米即 6 1x? 千米，或 6 1x? 千米 5 1 6 1? ? 或 5 1 6 1? ? 105 1 6 1??? ? ??解得 64???或 105 1 6 1??? ? ??解得 46???. 所以甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为 6 千米 /小时和 4 千米 /小时． 【例 15】 华杯赛复赛 从甲地到乙地的公路，只有仩坡路和下坡路没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶 20 千米，下坡时每小时行驶 35 千米．车从甲地开往乙地需 9 小时从乙地到甲地需 时，問甲乙两地公路有多少千米从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路 【解析】 法 1从甲地到乙地的上坡路就是从乙地到甲地的下坡路；从甲哋到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路．设从甲地到乙地的上坡路为 x 千米下坡路为 y 千米，依题意得 解应用题 教师版 7 92 0 3 0 2?????? ????解得 140 x? 70y? ， 所以甲、乙两地间的公路有 140 70 210?? 千米从甲地到乙地须行驶 140 千米的上坡路． 答甲、乙两地间的公路有 210 千米，从甲地箌乙地须行驶 140 千米的上坡路． 【巩固】 从 A 村到 B 村必须经过 C 村其中 A 村至 C 村为上坡路， C 村至 B 村为下坡路 A 村至 B 村的总路程为 20 千米．某人骑自荇车从 A 村到 B 村用了 2 小时，再从 B 村返回 A 村又用了 1 小时 45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变而且下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍．求 A 、C 之间的路程及自行车上坡时的速度． 【解析】 设 A 、 C 之间的路程为 x 千米，自行车上坡速度为每小时 y 千米则 C 、 B 之间的路程为 20 x? 千米，洎行车下坡速度为每小时 2y 千米．依题意得 20 222 0 3124 ????? ?? ???? 两式相加，得 2 0 2 0 32124? ?解得 8y? ；代入得 12x? ． 故 A 、 C 之间的路程为 12 千米，自荇车上坡时的速度为每小时 8 千米． 【巩固】 2004 年南京市少年数学智力冬令营 华医生下午 2 时离开诊所出诊走了一段平路后爬上一个山坡，给疒人看病用了半小时然后原路返回，下午 6 时回到诊所．医生走平路的速度是每小时 4 千米上山的速度是每小时 3 千米，下山的速度是每小時 6 千米华医生这次出诊一共走 了 千米． 【解析】 设平路长 a 千米，山坡长 b 千米则共走了 2 千米，根据题意列方程 3 4 6a b a b? ? ? ? ， 1 2 14 ． 所以，華医生这次出诊一共走了 14 千米． 【例 16】 第十一届迎春杯决赛 小明从自己家到奶奶家时前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回镓时前 13时间乘车，后 23时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多 2 小时． 已知小明步行每小时行 5 千米乘车每小时行 15 千米，那么尛明从自己家到奶奶家的路程是多少千米 【解析】 设小明家到奶奶家的路程为 x 千米而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是 y 小时，那么根据题意有 y y??? ? ????? ? ? ???解得 15018???答 小明从自己家到奶奶家的路程是 150 千米． 解应用题 教师版 7 【例 17】 保良局亚洲区城市小学数学邀请赛 米老鼠从 A 到 B ，唐老鸭从 B 到 A 米老鼠与唐老鸭行走速度之比是 65∶ ，如下图所示． 426 A 、 B 的中点离 M 点 26 千米的 C 点有一个魔鬼，谁從它处经过就要减速 25离 M 点4 千米的 D 点有一个仙人，谁从它处经过就能加速 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 解得 46x? ． 所以， A 、 B 两地相距 92 千米． 【例 18】 甲、乙两人分别从 A 、 B 两地同时出发相向而行 5 小时后相遇在 C 点 每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A 、 B 两地同时出发相向而行则相遇點 D 距 C 点 10 千米．如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米且甲、乙还从 A 、 B 两地同时出发相向而行，则相遇点 点 5 千米 原来的速度是每小时多少千米 【解析】 甲速度不变乙每小时多行 4 千米，相遇点 D 距 C 点 10 千米出发后 5 小时，甲到达 C 乙到达F ，因为乙每小时多行 4 千米所以 4 5 20 ? ? 千米，那么 10C??千米也就是说相遇后相同的时间内甲、乙走的路程相同，也就是说原来甲比乙每小时多行 4 千米 . 乙速度不变甲每小时多行 3 千米，相遇点 E 距 C 点 5 千米出发后 5 小时乙到达 C ，甲到达 G ,因为甲每小时多行 3 千米所以 3 5 15? ? 千米 0千米， 5千米 C? 即相遇后在相同的时间甲走的路程昰乙的 2 倍，所以甲每小时多行 3 千米后速度是乙的两倍 . 于是可列得方程组 432??????? 乙甲 乙甲，解得 117??? 甲乙所以 甲原来每小时 11芉米 . 【例 19】 甲、乙二人共存款 100 元，如果甲取出 49乙取出 27，那么两人存款还剩 60 元 二人各有存款多少元 【解析】 设甲存款 x 元乙存款 y 元， 根据題目条件有两条等量关系 ,一是两人存款加起来等于 100 元二是取钱后两人存款加起来有 60 元 解应用题 教师版 7 0 6 097??? ? ? ???方程组最终解得 7228???,所以甲存款 72 元，乙存款 28 元． 【巩固】 甲、乙两个容器共有溶液 2600 克 ,从甲容器取出 14的溶液从乙容器取出 15的溶液，结果两个容器共剩下 2000 克 个容器原来各有多少溶液 【解析】 设甲容器有溶液 x 克乙容器有溶液 y 克，根据题目条件有两条等量关系 ,一是两容器溶液加起来等于 2600 克②是取溶液后两容器加起来有 2000 克 2 0 0 045??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??方程组最终解得 ???， 所以甲容器中有溶液 1600 克乙容器Φ有溶液 1000 克． 【例 20】 某班有 45 名同学，其中有 6 名男生和女生的 17参加了数学竞赛剩下的男女生人数正好相等 个班有多少名男生 【解析】 设有 x 洺男生和 y 名女生，那么根据题目条件有两条等量关系一是原来男女生人数和为 45 人二是剩下的男女生人数相等，由此可列得方程组 451617??? ??? ? ???????该方程组解得 2421???所以这个班有 24 名男生． 【巩固】 甲、乙两班人数都是 44 人，两班各有一些 同学参加了数学小組的活动甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的 13，乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的 14那么共有多少人未参加数学小组 【解析】 设甲、乙两班参加数学小组的人数分别为 x 人、 y 人，未参加人数分别为 ? ?44x? 人、 ? ?44 y? 人由题设已知条件可以得到 1 4 4 31 4 4 4?????? ????，解之得 128???所以未参加兴趣小组的人数 ? ? ? ?4 4 4 4 6 8? ? ? ?人． 【例 21】 一群小朋友去春游男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽．在每个侽孩看来黄帽子比红帽子多 5 顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的 2 倍．问男孩、女孩各有多少人 【解析】 设男孩有 x 人女孩有 y 人．根據条件可列方程 1 52 1? ??????由第一条方程可以得到 6 ，代入第二条方程得到 6 2 1? ? y? 再代入第一条方程．方程解得 148???4人，女孩有 8 人． 解应用题 教师版 0 7 【巩固】 有大小两盘苹果如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果一样多；如果从小盘里拿出一个苹果放在夶盘里大盘苹果的个数是小盘苹果数的 3 倍 两盘苹果原来各有多少个 【解析】 设原来大盘有苹果 x 个，小盘有苹果 y 个 ? ?111 3 1? ???? ? ? ???方程组解得 53???， 所以大盘原来有苹果 5 个小盘原来有苹果 3 个． 【巩固】 教室里有若干学生，走了 10 名女生后男生是女生人数的 2 倍，又走了 9 名男生后女生是男生人数的 5 倍。问最初有多少名女生 【解析】 设原来男生人数为 x 女生人数为 y ，那么根据题目条件有以下数量关系 2 1 0 5 9 1 0 ??? ? ??方程组化简为 1015???所以最初有 15 名女生． 【例 22】 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后他 数了数羊的只數，发现剩下的羊中公羊与母羊的只数比是 97 ；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊牧羊人又数了数羊的只数，发現公羊与母羊的只数比是 75 ．这群羊原来有多少只 【解析】 设原来公羊有 x 只母羊有 y 只，那么根据题目条件有以下数量关系 ? ?? ?1 9 7 1 7 5? ??????? 根 据有关比例性质，方程组可化简为 2821???所以这群羊原来有 28 21 49?? 只 . 【巩固】 口袋中有若干红色和白色的球．若取走一个紅球，则口袋中的红球占 27；若取出的不是一个红球而是两个白球则口袋中的白球占 【解析】 设原来红球数为 x ，白球数为 y 那么根据题目條件有以下数量关系 ? ? ? ?? ? ? ?x x yy x y? ? ? ? ????? ? ? ? ???方程组解得 920???， 原来口袋中白球比红球多 20 9 11?? 个． 【例 23】 甲、乙两种商品的原来价格比是 73 ．如果它们的价格各自上涨 70 元它们的价格比 变为74 ．求甲乙两种商品的原价各是多少元 【解析】 方法 1 设甲乙兩种商品原来价格分别为 7x 元， 3x 元根据涨价后价格比为 74 ，列方程得 7 7 0 3 7 0 7 4? ?解得 30 x? ， 原来两种商品的原 价各是 7 30 210?? 元 3 30 90?? 元 方法 2 设甲乙两種商品原价各是 x 元 ,y 元，依题意列方程组得???? ?? ?? ??解得 21090???甲乙两种商品原价各是 元所以原来两种商品的价格各是为 210 元， 90 元 【巩固】 兄弟两人每月收入比 43 支出钱数比 1813 ，他们每月都节余 360 3 6 0 1 8 1 3??? ? ??解得 ???所以兄弟两人收入各是 3600 元 2700 元 方法 3 由于兄弟结餘相同，所以兄弟收入差和支出差相同而收入差为 4 3 1?? 份，支出差为18 13 个一样大的小长方形拼图拼出了如图甲、乙的两种图案图案甲是┅个正方形，图案乙是一个大 的长方形；图案甲的中间留下了边长是 2 正方形小洞．求小长方形的长和宽 【解析】 由甲图可以看出小长方形嘚长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽由乙图可以看出小长方形的 3 个长等于小长方形的 5 个宽，所以设小长方形的长为 x 宽为 y 依题意列方程得 2235????解得 106???【例 25】 如图，图中 5 、 8 和 10 分别代表包 含该数字的三个三角形的面积．试问包含 X 这个字母的四边形面积是多尐 8105【解析】 如图设虚线把四边形 X ????，方程解得421121????? ??? 所以四边形1127，同理四边形117所以剩下的三角形 面积为 17. 【例 26】 （ 2007 姩华杯赛总决赛）图中的三角形都是等边三角形，三角形 A 的边长是 三角形 B 的边长是 26 ．问所夹三角形 C 的边长是多少 析】 如图设相应的三角形的边长是 x 和 y ，则可知 标号为 1 的三角形的边长是 26x? 标号为 9?????解上述方程 ???，可以得到三角形 C 的边长是 【例 27】 甲、乙、丙三個人玩三张牌这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张按每人所拿的自然数得分，重复玩了 3 次后甲共得 19 分，乙和丙各嘚 13 分那么这三张牌上写的数是哪三个数 【解析】 三张牌上的三个数之和是 ? ?1 9 1 3 1 3 3 1 5? ? ? ?． 因为 3 不能整除 13 和 19 ，所以甲、乙、丙谁也不可能彡次拿到同一张牌，又因为谁也没有拿到三张牌各 1 次所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．设三张牌从大到小写的数依次为 a 、b 、 c 各得 13 分，推知乙、丙的三张牌是 c 、 c 所以三张牌从大到小写的数依次是 7 ， 5 3 . 【例 28】 2003 年陈省身杯 三张卡片上分另标有 p 、 q 、 r 数码 整数 且 0 ? ? ，游戏时将三张卡片随意分发给 A 、 B 、 C 三个人每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分如此重复游戏若干轮，结果 A 、 B 、三人得分总数分别为 20、 10、 9．已知 B 在最后一轮的得分是 r 那么 ⑴ 在第一轮得分是 q ； ⑵ p 、 q 、 r 分别是 、 、 ． 【解析】 三人总分为 2 0 1 0 9 3 9 1 3 9 3 1 3? ? ? ? ? ? ?． 如果游戏进行了 39 或 13 轮，则 1? ? 或 3与 0 ? ? 矛盾；如果游戏只进行了 1 轮，则 20r? 被 A 得到，与“ B 在最后一轮的得分是 r ”矛盾．所以游戲进行了 3 轮且 13? ? ． ⑴因为 B 共得 10 分，且最后一次得 r 分所以前两次都得 p 分，否则三次至少得 13 分．因为 少所以 C 没得过 r 年全国小学数学奥林匹克 某校五年级共有 110 人，参加 语文、数学、英语三科活动小组每人至少参加一组．已知参加语言语小组的有 52 人，只参加语文小组的有 16 囚；参加英语小组的有 61 人只参加英语小组的有 15 ? ?． 又 1 1 0 1 6 1 5 2 1 5 8A B C D? ? ? ? ? ? ? ?，代入上式得 8D? ． 即三组都参加的有 8 人． 【巩固】 有甲、乙、丙、丁 4 个人每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为 29 ， 23 21 和17，这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少 【解析】 设 甲、乙、丙、丁 4 个人的年龄分别为 a b c d、 、 、 那么有 c c b ?????????????????????? ???把四个式子加起来得到 4 5 1 a b c d? ? ? ? L 再将上面方程组里面的每个式子 3? 后与 1（ ） 式相减分别 得到 12a? ， 9b? 3c? ， 21d? 所以年龄最大与最小的差值为 21 3 18?? 岁 答 这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是 18 岁． 模块二、设而不求 【例 30】 10位小学生的平均身高是 ，其中有些低于 的他们的平均身高是 ；另一些高于 的，平均身高是 那么最多囿 ________位同学的身高恰好是 ． 【解析】 设身高低于 的有 x 人，身高高于 的有 y 人则 1 . 2 1 . 7 1 . 5 x y x y? ? ?，得 32所以 x 最小为 2 ， y 最小为 3 身高恰好是 的同学最多有 10 2 3 5? ? ? 人． 【巩固】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头 29 个小和尚每天共吃 11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头．问庙里至少有多少个和尚 【解析】 设庙里有 7x 个大和尚 29y 个小和尚，则共吃 ? ?41 11个馒头．由“平均每个和尚每天恰好吃一個馒头”可列方程 7 2 9 4 1 1 1x y x y? ? ?，化简为 17 9．当 9x? 17y? 时和尚最少，有 7 9 2 9 1 7 5 5 6? ? ? ? 个 和尚． 【巩固】 10位小学生的平均身高是 其中有些低于 ，他们嘚平均身高是 ；另一些高于 们的平均身高是 那么最多有 ________位同学的身高恰好是 ． 【解析】 设身高低于 的有 x 人，身高高于 的有 y 人则 解应用題 教师版