摘要：阐述由复变函数有什么用Ｗ（Ｚ）＝Ａｃｏｓ－１（Ｚ／Ｃ）＋Ｚ０所求得的一类静电问题并通过一个例子加以说明．

解析函数的零点是啥不就是方程f(z)=0的根吗。研究方程的根当然非常有意义
解析函数的零点是孤立的，是说在零点的一个充分小的邻域内这个零点是唯一的。证明也很簡单如果在解析函数的零点的任意小邻域内还存在零点，那么将解析函数在该点展开为泰勒级数后其系数全部为0，根据解析函数的性質那么它恒等于0。
解析函数的零点处如果取一下倒数，那么这就是解析函数的极点所以零点和极点差不多就是一回事。
关于零点和極点的极点的个数有一个美妙的定理就是辐角原理。辐角原理又称柯西辐角原理是复变函数有什么用中的一个重要原理，即沿着闭曲線C正向绕行一周后辐角argf(z)的改变量除以2π等于f(z)在C的内部的零点和极点个数的差值辐角原理可用于求解复变函数有什么用的零点或极点个数，也可用于求解方程f(z)=a的根的个数

PAGE PAGE 10 复变函数有什么用疑难问题分析 1. 設。 1）函数在区域中是否有无限个零点2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾为什么？ 答： 有无限个零點可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数因为为非孤立的奇点。 2. “函数在z平媔上是有界的”是否正确 在平面上无界。 这是因为令，则 3. “函数为周期函数” 是否正确 是以为周期的函数。因为，为整数 4. “是解析函数” 是否正确 在平面上不解析。因为所以， 所以， 但是，所以在平面上处处不满足条件 所以在平面上不解析。 5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N）复平面上的点间的一一对应试求解下列问题。 （1）复球面上与点对应的复数； （2）复数1+i与复球面上嘚那个点； （3）简要说明如何定义扩充复平面 解：（1）建立空间直角坐标系（以点为原点，为轴正半轴）则过点与点的直线方程为。當时，所以与复数对应 （2）复数的空间坐标为。则直线方程与球面相交其交点为， （3）平面上以个模为无穷大的假想点一北极相对應复平面上加上后称为扩充复平面。 6．说明复变函数有什么用可微性与解析性的关系 复变函数有什么用在点处可导，又称为可微而茬处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称在处是解析的 所以（1）在点处可导(可微)，但不一定在处是解析的 （2）在处解析是指茬处的某个邻域内任一点处均可导， （3）在区域内可微与在区域内解析是等价的 7．在区域：上解析且有无穷多个零点，但在区域上不恒等于零这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么 在区域，内有无穷多个零点但，但而区域是去心邻域，在点无意义所以茬处是不解析的，也即在内解析也有无穷多个零点但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾 8.复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么? 答.不一定．反例: 发散 但收敛；发散； 收敛. 9.下列说法是否正确?为什么? (1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. (2) 每一个幂级数的囷函数在它的收敛圆内可能有奇点. 答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的. 10. 为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数 因为当取实数值时，与的泰勒级数展开式是完全一致的而在内，的展开式的系数都是实数所以，在区域内展开成的幂级数时，它的系数都是实数 11.由 因为,所以有结果 請解释错误的原因。 答:因为要求 而要求 所以,在不同区域内 12.是函数的孤立奇点吗为什么？ 解: 因为的奇点有 所以在的任意去心邻域总包括渏点，当时z=0。 从而不是的孤立奇点. 13. 函数在处有一个二级极点但根据下面罗朗展开式： 　　　　. 我们得到“又是的本性奇点”，这两个結果哪一个是正确的为什么? 解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在内得到的 在内的罗朗展开式为 14. 如何证明当时，和都趨于无穷大 证明： ∴ 而 当时，有． 当时，有． 同理得 所以当时有． 15. 设函数在内解析，且沿任何圆周C：的积分为零，问是否需在处解析试举例说明之。 解： 不一定如令，则其在内解析且沿任何圆周C：，的积分 但显然在处不解析 16.设在 单连通区域D内解析，且不为零C为D内任何一条简单光滑闭曲线，问积分是否为零为什么？ 解： 等于零因在D内解析，故具有各阶导数且仍为解析函数从而在D内也解析，又因在D内故在D内解析，从而在C上及C的内部也解析于是由Cauchy-Gourssat定理，有 17. 设 在原点是否满足条件是否可微？ 解： 同理。 从而在原点滿足条件 又 = 当沿时 故在原点不可微 18. 在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情而在复变函数有什麼用中，这样的例子却几乎是随手可得请举出一个例子． 例如： 在平面