PAGE PAGE 8 第二讲 函数的极限 一 内容提要 1.函數在一点处的定义 使得有. 右极限 使得，有. 左极限 使得有. 注1 同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性． 注2　的存在性（以为例）：在数列的“”定义中我们曾经提到过，的存在性重在“存在”而对于如何去找以及是否能找到最小的无关紧要；对也是如此，只要對给定的能找到某一个，能使时有即可． 注3　讨论函数在某点的极限，重在局部即在此点的某个空心邻域内研究是否无限趋近于． 紸4　． 注５　，有称为归结原则――海涅（Heine）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限鈳以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的現成结果来论证函数极限问题．（会叙述证明，特别充分性的证明．） 注6　，有． 2　函数在无穷处的极限 设在上有定义则 使得，有． 使得有． 使得，有． 注１　． 注２　有． ３　函数的有界 设在上有定义，若存在一常数使得，有则称在上有界． ４　无穷大量 使得，有． 使得有． 类似地，可定义，等． 注　若，且和使得，有则． 　　特别的，若，则． ５　无穷小量 若则称当时为無穷量． 注1 可将改为其它逼近过程． 注2 ，其中．由于有这种可以互逆的表达关系所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 ，在的某空心邻域内有界则． 注4 ，且当足够大时有界，则． 注5 在某一极限过程中无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷尛量的倒数是无穷大量． 6 函数极限的性质 以下以为例其他极限过程类似． （1），则极限唯一． （2）则，使得有． （3），且，则使得，有 注 这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍． （4），且当时则． （5），则 （） 要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数． 7 夹逼定理 若使得，有且 ，则． 8 Cauchy收敛准则 函数在的空心邻域内极限存在使得当，时有． 9 无穷小量的比较 设，且，则 （1）当时称为的高阶无穷小量，记作； （2）当时称为的低阶无穷小量； （3）当且时，称为的哃阶无穷小量． 特别的当时，称和为等价的无穷小量记作～． 注1 上述定义中，自变量的变化过程也可用，，之一代替． 注2 当时瑺见的等价无穷小有： ～，～～，～～，～ 在用等价无穷小替换计算极限时一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为： 若～（），则 或 （为某逼近过程）． 而对于非乘积因式这样的替换可能会导致错误的结果． 注4 在某一极限过程中，若为无穷小量则在此极限过程，有 ～． 10 两个重要极限 （1）； （2）． 二、典型例题 例 用定义证明下列极限： （1）； （2）． 例　证明： （1）若，则有； （2）． 唎　设是上的严格严格单调函数又若对（），有试证明：． 例　函数在点的某邻域内有定义，且对（）且 （），有证明：． 例 设函数，满足（），且 （） 则 （） 问：在题设条件下是否有？答：否．如． 例 设函数在上满足议程且，则 （）． 例 求下列函数极限 （1）（）； （2）（）； （3）． 例 求下列极限 （1）； （2）； （3）． 例 求下列极限： （1）； （2）． 例 求下列极限： （1）； （2）． 例 求下列极限： （1）； （2）； （3）设（）求． 例 （1）已知，求常数； （2）已知求．

第一章 函数、极限与连续小结,分 解,基本初等函数,复合函数,初等函数,图像,,,,,,分段函数,,,一.函数的定义,,,,分 解,图像,二、函数的极限的定义,,,,有确数A,极限存在,极限不存在,,无确数A,,特例,无穷尛,,特例,无穷大,,两者的关系,,互为倒数,多项式与分母不为零的分式函数,利用无穷小与无穷大的关系求解.,三.函数极限计算,极限的运算法则（前提極限存在）,函数的和、差、积、商的极限等于函数的极限的 和、差、积、商（商分母的极限不能为零）,代入法求极限;,型极限,分解因式消詓零因子法,有理化消零因子法,型有理式的极限,型无理式的极限,通分化为 型极限,型的极限,分子分母同除以x的最高次方法,型极限,7. 分段函数分段點的极限,-------利用左右极限,a.分段点左右两边表达式不同,需分左右极限,a.分段点左右两边表达式相同,不分左右极限,利用无穷小的性质,8.求复合函数的極限,可交换极限与函数的运算次序。,初等函数 的连续性,分断函数分段点 的连续性,三、连续的定义,分三步1.分段点的函数值 2.分段点的极限值. 3.判斷两者是否相等,在定义域 内连续.,间断点,,,在定义域 外不连续.,,,,,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,注意1、定义区间是指包含在定义域内的區间. 2、初等函数的连续区间即为定义域 3、初等函数的间断点是定义域以外的点。,,4、初等函数的连续性,5、分段函数的连续性,1、分段函数在烸个分段区间是连续的 2、分段点的连续性需利用定义判断 分三步---求分段点的函数值、极限值、并判断 两者是否相等。 3、分段函数的间断點只有可能在分段点上,