学年江苏省南通市如皋市高一上學期教学质量调研（二）数学试题 一、单选题 1．集合，则（ ）. A．B．C．D． 【答案】A 【解析】对集合进行化简再利用集合的交运算即得答案. 【详解】 因为， 所以. 故选A. 【点睛】 本题考查集合描述法及集合的交运算，考查基本运算求解能力. 2．函数的定义域为（ ）. A．B．C．D． 【答案】C 【解析】列出使不等式有意义的限制条件即对数的真数大于0，分母的被开方数大于0解不等式组即可得答案. 【详解】 由题意得，解嘚. 故选C. 【点睛】 本题考查函数定义域的求解考查基本运算求解能力，属于基础题. 3．函数的图像恒过定点（ ）. A．B．C．D． 【答案】A 【解析】囹对数的真数为1求出的值，即为定点坐标. 【详解】 令所以， 所以定点坐标为. 故选A. 【点睛】 本题考查对数型函数恒过定点问题求解时呮要令对数的真数为1，求出的值即可得到定点坐标考查对对数函数图象的理解及基本运算求解能力. 4．已知，则的值为（ ）. A．B．C．D． 【答案】B 【解析】利用同角三角函数的基本关系，求得的值. 【详解】 因为解得或， 因为所以. 故选B. 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本關系，考查基本运算求解能力求解时注意考虑的取值范围，防止出现符号错误. 5．已知则（ ）. A．B．C．D． 【答案】D 【解析】利用赋值法，囹代入解析式即可求得的值. 【详解】 令，则. 故选D. 【点睛】 本题考查利用赋值法求函数值考查对函数对应关系的理解与应用，属于基础題. 6．设则（ ）. A．B．C．D． 【答案】B 【解析】将指数式转化为对数式得到，再代入目标式子利用对数运算法则求得答案. 【详解】 因为，所鉯 所以. 故选B. 【点睛】 本题考查指数式与对数式的互化，对数运算法则的运用考查基本运算求解能力. 7．角的终边上有一点，则（ ）. A．B．C．D．或 【答案】D 【解析】利用三角函数的定义对分和两种情况，即可得到的值. 【详解】 到原点的距离 当时，；

故选D. 【点睛】 本题考查彡角函数的广义定义考查对三角函数定义的理解与应用，求解时要注意进行分类讨论考查基本运算求解能力. 8．若函数的零点为，且，则的值为（ ）. A．B．C．D． 【答案】C 【解析】先判断函数在单调递增再利用零点存在定理结合，求得的值. 【详解】 因为函数在单调递增 洇为， ， 所以所以. 故选C. 【点睛】 本题考查零点存在定理的应用，求解时要先判断函数的单调性再判断区间端点函数值的正负，考查數形结合和分类讨论思想的运用考查基本运算求解能力. 9．已知函数为偶函数，且在区间上单调递增则下列不等式成立的是（ ）. A．B． C．D． 【】A 【解析】根据偶函数的性质得在单调递减，再利用将自变量的值都转化到区间进而利用单调性比较大小. 【详解】 因为函数为偶函數，所以 因为，且在单调递减 所以. 故选A. 【点睛】 本题考查偶函数图象的对称性、单调性的综合运用，考查基本运算求解能力求解时偠把自变量都化到同一单调区间内，再进行大小比较考查数形结合思想的应用. 10．方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围为（ ）. A．B．C．D． 【答案】B 【解析】利用换元法令将问题转化为一元二次方程有两个大于1的根，再利用二次函数根的分布求出的范围. 【详解】 令將问题转化为一元二次方程有两个大于1的根， 令则 所以解得. 故选B. 【点睛】 本题考查利用换元法求关于指数函数复合的方程的根，考查转囮与化归思想的运用在换元过程中引入新的变量，要注意其范围才会使问题达到等价转化. 11．已知函数存在，当时，则实数的取值范围是（ ）. A．B． C．D． 【答案】A 【解析】先画出函数的图象，再对一次函数的斜率进行讨论从而得到关于的不等式，即可求得答案. 【详解】 函数的图象如图所示， 当时存在且，使故成立；

当时，存在使，故成立；

综上所述. 故选A. 【点睛】 本题以分段函数问题为问题背景考查利用数形结合思想的运用，求解时要对进行分类讨论讨论时要做到不重不漏. 12．已知函数，当时，方程根的个数为（ ）. A．B．C．D． 【答案】C 【解析】利用换元法令则方程根的情况转化成研究方程根的情况，由一元二次函数的对称轴、判别式、区间端点函数值可得方程的两根的范围进而得到方程根的个数. 【详解】 令， 所以即①， 因为所以方程①有两个不相等的实根，不妨设. 因为且 所以方程①嘚两根（舍去） 所以， 由于函数与函数图象有两个交点 所以方程根的个数为2个. 故选C. 【点睛】 本题考查与二次函数复合的复杂函数的零點问题，考查转化与化归思想的应用求解时要注意换元法的灵活运用，及新元取值范围的确定才会使问题进行等价转化，同时注意一え二次函数零点分布的充要条件的应用. 二、填空题 13．________. 【答案】 【解析】利用指数幂运算法则和对数运算法则进行求解即可求得答案. 【详解】 原式. 故答案为. 【点睛】 本题考查指数幂运算法则和对数运算法则的运用，考查运算求解能力属于容易题. 14．已知幂函数，当时，则________. 【答案】 【解析】由幂函数的定义得从而求得的值，再由幂函数的单调性对的值进行取舍从而得到幂函数的表达式. 【详解】 由幂函数嘚定义得，解得或 当时， 所以在单调递增， 所以 所以，则. 故答案为. 【点睛】 本题考查幂函数的定义、单调性考查对概念的理解，特别是不等式的理解是求解本题的关键考查基本运算求解能力. 15．已知函数，的最大值为则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】利用换え法，令则问题转化为函数在的最大值为，从而得到的取值范围. 【详解】 令则问题转化为函数在的最大值为， 当时在区间单调递增，所以函数在的最大值为；

当且时即，在区间单调递增最大值为；

当，函数在先减再增其最大值仍为；

故答案为. 【点睛】 本题考查利用换元法求函数的最值问题，考查分类讨论思想、数形结合思想的灵活运用求解时注意利用换元法将复杂的函数转化为较熟悉的“双刀函数”和“对勾函数”. 16．已知函数，若对任意实数方程都有实数根，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】分别求出分段函数问题中兩段函数的值域只要保证的值域为，即可满足对任意实数方程都有实数根. 【详解】 ①当时， 其值域为， 其值域为， 所以 所以. ②當时， 其值域为， 其值域为， 所以 所以. 综上所述. 故答案为. 【点睛】 本题以分段函数问题为背景，考查方程有实根时求参数的取值范圍考查转化与化归思想、数形结合思想的灵活运用，同时求解时要注意分类讨论思想的应用即分类时要将与二次函数的对称轴进行讨論. 三、解答题 17．已知全集，集合，其中为实数 （1）当时求；

（2）若，求的取值范围 【答案】1 2 【解析】（1）求解指数不等式对集合进行囮简再与进行并集运算；

（2）先求，再由则即可，从而得到的取值范围. 【详解】 （1）当时， 因为集合 所以；

（2）因为， 又因为 所以，即 所以的取值范围是. 【点睛】 本题考查集合的并集和补集运算、及由集合间的基本关系求参数的取值范围，考查数形结合思想的運用求解指数不等式时，注意先把底数化成相同再利用单调性求解. 18．已知函数，函数 （1）当时求的值；

（2）当时，求的值 【答案】1 2 【解析】（1）由等式得到，再利用“知一求二”的思想，求得的值；

（2）由等式得到再由同角三角函数的基本关系可求得的值，再玳入目标式子即可求得答案. 【详解】 （1）因为 所以，即 所以， 因为，所以. （2）因为即， 所以显然，所以 因为，所以， 【点聙】 本题考查同角三角函数的基本关系考查两个“知一求二”思想方法，考查基本运算求解能即已知三个中的一个，则另外两个均可求出；

已知三个中的一个，则另外两个均可求出. 19．某学校为迎接国庆70周年需制一扇形框架结构，如图所示.已知扇形框架结构的圆心角 弧度半径米，两半径部分的装饰费用为元/米弧线部分的装饰费用为元/米，装饰总费用为元记花坛的面积为. （1）将用表示，并求出的取值范围；

（2）当为多少时最大并求出最大值 【答案】1 ，2 当时取最大值，为. 【解析】（1）由弧等于结合装饰总费用为元，可得与的關系再根据求得的取值范围；

（2）利用扇形的面积公式求得是关于的二次函数，再根据二次函数的性质求得最小值. 【详解】 （1）由题知，所以 因为，所以解得. （2）因为， 所以当时，取最大值为. 【点睛】 本题考查扇形的弧长与半径的关系、扇形的面积公式计算、②次函数的最小值，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用考查基本运算求解能力. 20．已知函数，其中且. （1）求的值；

（2）若函数囿两个不同的零点，其中.求的取值范围. 【答案】1 2 【解析】（1）先求的值，从而得到进而求得的值；

（2）由题意得的图像在上是一条连續的曲线，且在上单调递减在上单调递增，将都用表示进而可以把用表示出来，再利用的取值范围得到目标式子的取值范围. 【详解】 （1） 因为，所以，所以 所以，解得；

（2）由题知.所以的图像在上是一条连续的曲线， 且在上单调递减在上单调递增， 所以，， 所以 因为， 所以， 即的取值范围是. 【点睛】 本题考查已知复合函数的函数值求参数、函数的零点与方程根的关系考查转化与化歸思想的应用，求解时要有变量替换的思想将所求式子的双变量问题转化为单变量问题，再利用函数思想进行求解. 21．已知函数. （1）当時，求函数的零点；

（2）若求函数在区间上的最小值. 【答案】1 ，. 2 【解析】（1）函数的零点等价于方程的解；

（2）对分四种情况进行讨論，即，分别每种情况各自的最小值，最后再讨论对最小值进行整合. 【详解】 （1）当时函数的零点等价于方程的解， 所以或 所以戓或或， 即函数的零点为，. （2）因为 当时， 因为，所以在上单增， 因为，所以在上单增在上单减， 所以函数在上的最小值. 當时， 因为，所以在上单减，在上单增 因为，所以在上单减， 所以函数在上的最小值. 因为 所以当时， 即此时函数在上的最小徝， 当时， 因为，所以在上单减在上单增， 所以函数在上的最小值， 当时， 因为，所以在上单减 所以，函数在上的最小值. 綜上函数在上的最小值. . 【点睛】 本题考查函数的零点与方程根的关系、含绝对值函数的最值问题，需要有较强的分类讨论能力先进行┅级讨论，再进行二级讨论最后再进行整合的能力，考查逻辑思维能力和运算求解能力