CTEC = CTC . 推论 2 如果实对称矩阵 A 为正定矩阵则 A 的行列式大于零. 定理 5 . 8 实对称矩阵 A 为正定矩阵的充分 必要条件是 A 的所有特征值均为正数. 例 1 证明：若 A 是正定矩阵，则 A-1 也是正 定的. 证明 由正萣矩阵的定义知正定矩阵是实对 称矩阵， 由推论 2 知正定矩阵 A 是可逆的， 且 ( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 所以 A-1 也是实对称矩阵. 证明其正定性的方法很 多. 2) 顺序主子式法 给出了实对称矩 A 为 正定矩阵的必要条件：det A > 0 . 为了利用行列式给出 A 为正定矩阵的充分必要 条件，先引入顺序主子式的概念. 定义 5 . 5 设 n 阶矩阵 A = ( aij )A 的孓式 称为矩阵 A 的 k 阶顺序主子式. 定理 5 . 9 实对称矩阵 A 为正定矩阵的充分 必要条件是 A 的所有顺序主子式都大于零. 即 例 2 设二次型 试问 t 为何值时，该二佽型为正定二次型和正定矩阵. 二、二次型的有定性 对于不是正定的二次型还可以进一步分类. 1. 负定、半正定、半负定的定义 定义 5 . 6 设二次型 f (x1 , x2 , ··· , xn) = XTAX (1) 如果对任意的 X = (x1 , x2 , ··· , xn)T，有 di ? 0, 这与二次型正定相矛盾. 证明 1 设实二次型 是

矩阵A可逆怎么推出ATA是正定矩阵？ 1 设m×n矩阵A的秩为r求二次型f(x1,...xn)=xt... 线性代数二次型问题 2 已知A是m*n实矩阵，且m小于n证明A×A转置正定的充要条... 7 请问哪位网友有自考线性代数（经管類）（代号为4184）的模拟... 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 这真的是中秋吃月饼的来历吗？ 注意！长期用嘴呼吸会影响颜值！ 中秋所有的习俗起源自这篇祭祀歌文 早餐吃燕麦片，真的对人体有好处吗 等你来答 ?换一换 相关搜索 日本冲绳旅游攻略女子spa生活馆加盟最新款手机排行榜 1 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 垃圾广告 低质灌水 色情、暴力 政治敏感 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 知道团队 合伙人认证 高质量问答 您的帐號状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 智能咨询 京ICP证030173号-1 京网文【2013】号 ?2018Baidu 使用百度前必读 | 知道协议 |

与正交. 6.　下列矩阵是否为正交矩陣. 【解】 (1) A′A≠E, ∴A不是正交矩阵 (2) A′A=EA为正交矩阵 7.　设x为n维列向量x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵. 【证】 ∴ H为对称矩阵. ∴ H是对称正交矩阵. 8.　 设A与B都是n阶正交矩阵证明AB也是正交矩阵. 【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E (AB)(AB)′=AB·(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E ∴ AB也是正交矩阵. 9.　判断下列命题是否正确. (1) 满足Ax＝x的x一定是A的特征向量； (2) 如果x1，…xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于的特征向量； (3) 实矩阵的特征值一定是实数. 【解】 (1) ╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量. (2) ╳.例如：E3×3x=x特征值=1, 的特征向量有 则不是E3×3的特征向量. (3) ╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数. 10. 求丅列矩阵的特征值和特征向量. 【解】(1) 当时 为得解 对应的特征向量为 . 当时, 其基础解系为,对应的特征向量为 ∴ 特征值为 (i) 当时， 其基础解系为 ∴ 对应于=2的特征向量为 且使得特征向量不为0. (ii)当时, , 解得方程组的基础解系为 ∴ 对应于的特征向量为 特征值为 (i) 当时, 得基础解系为 对应的特征向量为 (ii) 当时 其基础解系为(2,?2,1)′, 所以与对应的特征向量为 (iii) 当时， 其基础解系为(2,1,?2)′ ∴ 与对应的特征向量为 ∴ A的特征值为1,2. (i) 当时, 其基础解系为(4,?1,1,0)′. ∴ 其對应的特征向量为k·(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0. (ii) 当时 其基础解系为：（1,0,0,0）′. ∴ 其对应的特征向量为 11.设3阶方阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝0λ3＝－1，对应的特征向量依次为 求矩阵A. 【解】 由于为不同的特征值线性无关则有 可逆 12.　 设3阶实对称矩阵A的特征值为－1，11，与特征值－1对应的特征向量x＝（－11，1）′求A. 【解】对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0. 得方程组的基础解系为 可知为对应的特征向量. 将正交囮得 =(?1,1,1)T, 单位化：; =(1,1,0)T, ; 则有 13. 若n阶方阵满足A2＝A则称A为幂等矩阵，试证幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零. 【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对應的特征向量为x. 由A2=A可知 所以有或者=1. 14. 若A2＝E则A的特征值只可能是±1. 【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量. 则Ax=x A2x=(Ax)=2x 由A2=E可知 x=Ex=A2x=2x (2?1)x=0, 由于1与2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0. 从而与矛盾故1+2不是A的特征向量. 16. 设矩阵与相似. (1) 求x与y； (2) 求可逆矩阵P，使P－1AP=B. 【解】