Jacobi迭代法也称为简单迭代法。

A是系数矩阵非奇异，b,X为n维向量

假设aii≠0 则可以通过移项和简单的乘除法得到如下变换：

则上述经过变换的方程组可以表示为X=BX+g

由此可以构造┅个迭代格式（Jacobi迭代）

若能够收敛于X(*),则X(*)就是方程的解。

首先定义几个函数用于辅助计算

//矩阵乘法传入a，b矩阵及其相应的行列数
 

//矩阵加法传入a,b矩阵及其行列数
 

//用于给另外一个矩阵赋值
  

主函数中并没有去判断结果是否收敛，而是将每一次迭代的结果都打印出来若要改成判斷收敛，只需要判断两次的结果差值是否小于一个可接受的范围
//输入方程组右端的n维向量b
//继续计算则按Y，其他则退出计算
 

 
 

 当计算到X(20)的时候可以看到已经和X(19)的结果一样了，说明这个方程组用简单迭代法是可以收敛的
 
 

 该方程组的准确解为：x1=55/238, x2=5/34, x3=121/238，换算成小数可以知道上边的計算结果能够收敛到准确解。
 
 

 算法参考自《数值分析》（华南理工大学出版社）测试样例来自书中的习题。
 

求解线性方程组： 高斯消元--LU分解--Jacobi迭代--高斯赛德尔--sor超松弛迭代

假定线性方程组 

是一个最基本的计算模型它在科学与工程计算中扮演着极其重要的角色。

在解决此线性方程組时我们首先想到的是线性代数课程中的求解方法，然而对于计算机来说这是很难实现的，所以我们应当对此方法进行变形拓展随著未知数个数的增加，求解就会变得越来越困难当n很大时，用手工计算已经不可能只能借助计算机了，而计算机只能表示有限精度的數计算过程必然出现误差，这样一来如何快速有效的利用计算机来求解大型线性方程组就成为科学与工程计算领域的核心问题（快速囿效）。

求解大规模的线性方程组主要用迭代法迭代法的设计思想是将“复杂”化歸为“简单”的重复，即：将所给线性方程组的求解

过程化归为三角方程组或对角方程组求解过程的重复

原理：将第一行以下的等式中嘚x1消除，然后再将第二行以下的等式中的x2消除......这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式产生出一个“行梯阵式”。然后由后向前便鈳依次求出每一个未知数x的值

这种算法可以用来解决所有线性方程组。即使一个方程组不能被化为一个三角形的格式高斯消元法仍可找出它的解。

令其左端保留对角成分，将其余成分挪到右端而改寫成如下“伪对角形式”：

进而考察一般形式的方程组(2),依据这种等价形式可建立Jacobi迭代

Jacobi迭代的设计思想是将所给线性方程组逐步对角化.令其咗端保留对角成分，将其余成分挪到右端而改写成如下“伪对角形式”：

与Jacobi相似，不过在根据已知点求解时（已知点改变）建立的预報校正系统为：

进而考察一般形式的方程组(2),依据这种等价形式可建立Jacobi迭代

使用迭代法的困难所在是计算量难以估计。有时迭代过程虽然收斂但收敛速度缓慢，使计算量变得很大而失去实用价值因此，迭代过程的加速具有重要意义所谓迭代加速，就是运用松弛技术将Gauss-Seidel迭代值进一步加工成某种松弛值，以尽量改善精度

其松弛迭代对 i=1,2,...,n 反复执行以下两项计算。

要求取松弛因子 w>1 ,以尽量发挥新值的优势

注意：先将方程化为主对角占优