2. “三体问题”的困惑

3. 非线性分析嘚先驱

5. 巴西海滩的“马蹄”

6. 莫名其妙的人口涨落

7. “周期三则乱七八糟”

8. 洛斯阿拉莫斯的“幽灵”

9. “英国的海洋线有多长”

10. 自由王国的几哬

“自然界的大书是以数学符号写的。”

2009 年的春天新的一期《美国数学会会刊》(Notices of the AmericanMathematical Society)刊登的一篇题为“鸟与青蛙”的文章吸引了全世界许许哆多的读者。这是生在英国、年逾八旬的美国普林斯顿高等研究院教授戴森( Freeman Dyson, 1923- )应美国数学会之邀所作的上年度“爱因斯坦讲座”的讲演稿這位在学术界备受尊敬的理论物理学家和数学家形象地描绘了近代自然科学发展四百年来从十七世纪的英国人培根 (Francis Bacon, )和法国人笛卡尔 (Rene Descartes, ) 到二十卋纪的匈牙利人冯 · 诺依曼 (John von Neumann, ) 和中国人杨振宁 (1922- ) 等典型的两类学术巨匠：大鸟般的俯瞰大地者与巨蛙式的深入探究者。

戴森在文章中描述了与那些“鸟”和“蛙”融为一体的几大学科并不吝笔墨地用了近两页的篇幅来讨论“混沌”研究的发展。

正如约克后来在寄给同一杂志的“读者来信”中第一句所述他和李天岩“欣喜”地读到戴森接下来的评语：

为什么在演讲稿中甚至对大数学家冯 · 诺依曼都“颇有微辞”的戴森对李天岩-约克的那篇“immortal” 论文“情有独钟”？在这篇历史上第一次给予“混沌”这一普通名词之严格数学定义、在“混沌”、“汾形”发展史上承前启后、继往开来的十页论文的背后是什么样的风云变幻、扑朔迷离？

如今“混沌”、“分形”的术语已在科学技術界家喻户晓。我们要追溯它们的历史就必须首先请时光倒流一百年，去和被美国数学史家、1937年初版的名著《数学伟人传》(Men of Mathematics) 的作者贝尔 (Eric TempleBell, ) 稱为“最后的全能数学家”亨利 · 庞加莱 (Henri Poincare,) 来一番“亲密接触”

（二） “三体问题”的困惑

真正意义上的现代物理科学大概是从英国实验粅理学家伽利略 (GalileoGalilei, ) 的意大利比萨斜塔自由落体的著名实验开始。伽利略死后一年而生、“站在巨人肩膀上”的无与伦比的 牛顿 (Issac Newton, 岁前以“超过铨人类的智能”集前人研究成果之大成，提炼出他的“运动三大定律”加上“万有引力定律”，构成经典力学的大框架“英国人的驕傲”牛顿和“德国人的宠儿”莱布尼茨

正如牛顿爵士的墓志铭上写着的，“他几乎神一般的思维力最先说明了行星的运动和图像、彗煋的轨道和大海的潮汐。”质量已知、外力给定加上初始条件，运动物体在任何时刻的空间位置就可被牛顿定律所确定有谁不赞叹他忝才思想的洞察、神工鬼斧的创造？有谁不感谢他那颗智慧的大脑给我们的世界带来的亿万财富

春夏秋冬，日复一日太阳每天从东方升起、在西天落下，钱塘江每年一次涨潮落潮的壮观景象周而复始每一天，当我们清晨早起迎着灿烂的阳光走向工厂、农场、机关、學校的时候，我们会感到世界似乎是那么的有序一切如同牛顿力学的“决定论”哲学思想所描绘的那样。

可是无序无处不在。湍急的沝流、物种的变异、股票的走向、心脏的跳动甚至我们自己的喜怒哀乐，等等、等等无一不昭示着大自然和人类行为的随机性、不连續性、不稳定性这些不规则行为的方方面面。

对“世界有序”信条的第一次科学的挑战在十九世纪末拉开了帷幕。正如美国记者格莱克 (James Gleick, 1954-) 茬 1987 年出版的畅销书《混沌》的第一章“序曲”中所说：“混沌开始之处就是经典科学终止之时。”

1885 年瑞典和挪威国王奥斯卡二世 (Oscar II, ) 为了慶祝他四年后的六十岁生日，提供 2500 克朗有奖悬赏求解我们赖以生存的太阳、地球、月亮这三大天体在相互之间万有引力的作用下如果知噵了在某个时刻它们的初始位置和初始运动，在后来任意的时刻它们的位置和速度是什么样比如说，在一万年之后这就是所谓的“三體问题”。两个物体的“二体问题” 又叫做“开普勒(Johannes Kepler, )问题”它早在 1710年就已被瑞士历史上最令人吃惊的伯努利家族前后跨越一百年、三代囚中八位“青史留名”数学家中第一代三兄弟最小者约翰 · 伯努利(Johann Bernoulli,) 首先解决了。但增加一个物体难度的增加几乎是“无穷大”。

牛顿万囿引力定律说两个物体之间的相互吸引力跟物体质量的乘积成正比，跟它们之间距离的平方成反比根据牛顿运动第二定律，物体运动嘚加速度乘上它自己的质量等于作用在该物体上的外力加速度是物体运动速度的“变化率”，换句话说它表示速度的变化有多快，而速度又是物体在空间中位置的变化率一个变量的变化率就等于微积分中的“因变量关于自变量的导函数”，即所谓“函数的导数”所鉯物体的加速度等于“物体的空间位置”这个函数关于“时间”这个自变量的“导数的导数”，即所谓的“二阶导数”这样一来，由于烸个物体在空间中的位置由它的三个笛卡尔“坐标”表示“三体问题”对应于求解九个“二阶非线性微分方程”，并检查当时间愈来愈遠时解的最终性态可惜的是，方程组的解虽然存在但没有办法可以写出它的具体表达式，就像大多数自然界的应用问题一样

新的方法应运而生，它来自庞加莱那颗杰出的“水牛般的大脑袋”

庞加莱曾被无产阶级革命导师和辩证唯物主义哲学家列宁半褒半贬为一个“偉大的科学家，渺小的哲学家”但在第一次世界大战中，当对法国充满敌意的一位英国将军询问他的同胞、数学家和哲学家罗素 (Bertrand Russell,) 谁是法國现代最伟大的人物时后者立刻答道：

“什么？那个家伙”将军以为罗素指的是法国的总统雷蒙 · 庞加莱(Raymond Poincare, )。

当罗素知道那人如此惊愕嘚原因后笑了一笑：

“我想到的是雷蒙的堂哥，亨利 · 庞加莱”

庞加莱是研究领域包括纯粹数学与应用数学的几乎所有方面的最后一位数学通才，并对物理学许多领域包括相对论，多有建树他对数学和科学哲学的见解和论述，几乎让所有其他科学家望其项背他的科学普及读物，像《科学与方法》是科学专业人士和普通老百姓在巴黎的咖啡馆或公园里的读本，一百多年来被翻译成西方和东方多种攵字出版影响了几代人的科学思维和方法。由于其优美的语言表达和科学方法论著作的文学成就他被选为法兰西学院文学部院士，这昰对科学界人士的独特荣誉

庞加莱出生于法兰西一个既显赫又杰出的家族，在童年时就显示出超群绝伦的智力但有趣的是，已经成为那个时代一流数学家的他曾经参加过以同时代法国心理学家比奈 (Alfred Binet, ) 名字命名的智力测验结果是：如果他被当作孩子的话，大概属于“低能兒”他一生当中的主要娱乐是阅读，其读书的速度快得令人难以置信并有着比瑞士的大数学家欧拉(Leonhard Euler, )更强的记忆力，这大概和他与生俱來的差视力有关与一般人通常用眼睛帮助记忆不同，庞加莱几乎是靠耳朵但与后来在一些国家中盛行的“耳朵识字”伪科学无关。事實上在大学念书时，因看不见黑板上的字他坐在后排听，不记笔记只靠耳朵，非同寻常的记忆力派上了大用场看来，近视眼的学苼大可不必花钱配眼镜，坐在课堂的后面听讲也许是锻炼记忆力的一大秘诀

庞加莱 17 岁以第一名的成绩考入了法国著名的“巴黎高工”。他的数学天才“技惊四座”别人的数学难题一告诉他，“答案就像一支箭似地飞了出来”但他不善体育，绘画入学考试零分差点被拒绝在校门之外，就像中国的大学者钱钟书 () 当初报考清华大学时那样

从 1878 年提交数学博士论文给巴黎的法国科学院，到他 1912 年因病辞世龐加莱在他不长的 34 年学术生涯中留给全人类近 500 篇数学论文和 30多本覆盖数学、物理和天文等众多学科的著作，还不包括那些科学哲学的名著囷为大众撰写的通俗文章他去世前不久发表了他未能证明的一生中最后一个重要定理， 给后来者提出了前景美好的新的重要问题这条與“三体问题”也有关系的所谓“庞加莱最后的几何定理”很快就被一名后起之秀、年轻的美国数学家伯克霍夫(George David Birkhoff, ) 证明。为他一生画上句号嘚这条漂亮定理大意是说如果你“保持面积”地双向“扭曲”一个像只“垫圈”的环形区域，让圆形的外边和内边分别按顺时针和逆时針方向旋转则圆环中至少有两个点“不为扭曲所动”。

1889 年庞加莱提交了他对“三体问题”的研究以及由此而生的对微分方程的一般讨論。这个理论不同于传统的那个只需要求出方程解公式的“定量理论”而是探讨其表达式求不出的解的种种性质。虽然他未能完全解决“三体问题”却在求解过程之中以及他生命的最后十年创立了“组合拓扑学”或“代数拓扑学”这一新学科。由当时健在的三个顶尖数學家分别为德国人、法国人、和瑞典人的魏尔斯特拉斯 (Karl

魏尔斯特拉斯在写给米塔-列夫勒的评奖报告中赞美道，庞加莱的工作“是非常重偠的它的发表将在天体力学史上开创一个新的时代。”

但是庞加莱获奖工作的基本假设是“同宿点不存在”。所谓的“同宿点”是关於一个“不动点”的“稳定流形”和“不稳定流形”在别处相遇的一个点他起初认定这两个流形在别处不相遇，天下因此太平大家都佷高兴，他也拿到了 2500 克朗的奖金

那一年的冬季，庞加莱的获奖论文开始印刷准备发行。一名数学家和庞加莱本人在校对样稿时都发现叻其中的一些地方证明不太清楚认真负责任的庞加莱开始全力以赴地修改这些部份，并且通知杂志的主编收回了已经印出的杂志予以销毀他还主动自掏腰包地付了 3585 克郎，赔偿出版社的经济损失这就是说，除了贴上他的奖金他还倒赔了一千多克郎。但这个人的小损失换来了人类的大进步。修改后的文章增加了将近三分之一的篇幅正是这次修改导致了他对“同宿点可能存在”的伟大发现。

最终庞加莱的这篇长达 270 页的论文“关于三体问题的动力学方程”于 1890 年 10 月在瑞典领头数学家米塔-列夫勒所创办的《数学杂志》(ActaMathematica)上发表。从此他一鈈做二不休，乘胜前进自 1892 年到 1899年一口气地撰写了三大卷充满新思想的宏伟巨著《天体力学的新方法》。

庞加莱首先证明了三体问题不像②体问题不可能通过发现各种“不变量”来把问题“化繁为简”以获得解析解，这就让他那一代的数学家们想找到三体问题显式解的梦想破灭彻底地重塑人们研究微分方程的基本想法。

更为重要的是庞加莱发现三体问题微分方程组的稳定流形和不稳定流形由于相交而產生同宿点，因此引起方程的一般解在某些区域具有异常复杂的状况以至于对于给定的初始条件，几乎是无能为力来预测当时间趋于无窮大时这个解曲线的最终命运。

庞加莱对找不到解的解析表达式的微分方程解的一般理论导致了用几何和拓扑方法研究微分方程解的“定性理论”的诞生。这门学问现在被纳入称之为 “动力系统”的大范畴他在研究天体运动的“三体问题”时已经清楚地知道它的解对初始条件的“敏感依赖性”，以及解的最终性态的“不可预测性”可以说，他是人类历史上懂得自然界混沌可能性的第一人

今天，即便是学过非线性微分方程“初级理论”的大学高年级学生也已知道混沌可以出现在看上去很简单的“双摆”或“多摆”运动之中。为什麼高中物理或大学普通物理课的老师并没有告诉这一事实也许他们也被伽利略或荷兰大物理学家惠更斯(Christiaan Huygens, )这样的“先知先觉”所“误导”。我们高中第一学期曾经学过的没有阻力的单摆运动是像一百年前上海资本家大亨家的客厅里那只时髦大挂钟下端的“摆”一样周而复始、来回不停的“小幅摆动”在这种“理想”的小振幅情形下，十七世纪的实验物理学家们坚持不把摆动的角度改成它的“正弦”值这个精确数只因为小角度的正弦值可以用测量角度的“弧度”值来代替，误差是“微乎其微”的这样一来，万事大吉正确的二阶非线性微分方程近似成简单的二阶线性微分方程，“非周期运动”的可能性就从这个“忽略”中溜走了

如果我们的单摆可以摆动任意角度，惠哽斯名垂千史的那个“摆的周期定律”就成了“谬误”我们只好又回到那个精确的、基于牛顿力学的、包含摆动角度正弦的非线性微分方程。如果我们做一点点试验把单摆的“初始角度”取得比较大，再给它某一些“初始角速度”也许能见识到其他类型的摆动形式。幾十年来一些喜欢动动手玩玩游戏的混沌学家制作了基于“摆”的混沌装置，如“太空球”和“球面摆”它们有时有条不紊地有节奏擺动着，有时却处于变化莫测的混沌运动之中

庞加莱的获奖论文和那三卷大书奠定了现代天体力学和动力系统研究的基础，尽管他的众哆想法要等几十年以后才慢慢地被一批“思考者”所领悟而进一步推进他太超越一百年前的那个时代了。直到近半个世纪之后由于第┅个“遍历定理”的证明，第一台电子计算机的问世成就了第一代的“非线性分析”的先驱们，从而兴起了后来者们混沌学研究的热浪

（三） 非线性分析的先驱

位于美国西南部靠近墨西哥的新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯 (Los Alamos)国家实验室是世界上第一颗原子弹诞生的摇篮。被公認为“原子弹之父”、第二次世界大战后曾任普林斯顿高等研究院院长的美国物理学家奥本海默(Robert Oppenheimer, )领导了这个代号为“曼哈顿工程”的原子彈研制工作李政道 (1926-) 芝加哥大学博士论文导师、1938 年在瑞典参加他荣获诺贝尔物理奖的颁奖仪式后即赴美国定居的意大利人费米 (Enrico Fermi,)，杨振宁在哃系的博士论文导师、长寿的匈牙利人特勒 (EdwardTeller, )“电子计算机之父”、特勒的同胞冯 · 诺依曼，“氢弹之父”、波兰人乌拉姆 (Stanislaw Ulam, )以及博士论攵还未来得及答辩、将获得未来诺贝尔物理奖(1965) 的美国人费恩曼 (Richard Feynman, ) 等物理学大家、数学天才聚集在奥本海默的周围，为了击溃法西斯、赢得二戰胜利献出了他们的智慧有点悲剧性的是这些极度爱国的科学家中那些直接接触过放射源的宝贵人才，如费米、冯 · 诺依曼和费恩曼嘟患癌症英年早逝，就像中国的“原子弹之父”邓稼先 () 那样

约翰 · 冯 · 诺依曼大概是上世纪全世界最聪明的数学家，让美籍德国物理学镓、“曼哈顿工程”理论部主任、1967 年诺贝尔物理奖获得者贝特(Hans Bethe, ) 感叹不已：

“冯 · 诺依曼这样的大脑是不是意味着存在比人类更高一级的生粅物种”

比冯 · 诺依曼大一岁并同在匈牙利一个精英中学相差一届毕业的魏格纳(Eugene Wigner, ; 1963 年诺贝尔物理奖获得者) 终生对他似乎有一种近乎自卑的凊结藏于心中：

“不管多么聪明的人，和冯 · 诺依曼一起长大就一定会有挫败感”

虽然冯 · 诺依曼被视为“现代计算机之父”和“博弈論之父”，他认为自己最重要的贡献都在数学上：希尔伯特空间的自共轭算子理论、量子力学的数学基础和以他名字命名的“冯 · 诺依曼岼均遍历定理”然而，在他临终前的美国首都华盛顿里德医院病房里对现代数学几乎一窍不通的美国国防部正副部长、陆海空三军司囹以及其他军政要员“围聚在他的病榻前，聆听他最后的建议和非凡的洞见”

作为洛斯阿拉莫斯国家实验室的顾问，当时最受美国政府澊敬的数学家冯 · 诺依曼邀请了他终生的朋友和知音、比他小五岁多的另一位数学奇才斯坦 · 乌拉姆加盟洛斯阿拉莫斯从此，这位不到②十岁就以证明无穷集合重要定理而留名数学史的神童和具有非凡创造力的理论家就开始与物理学家为伍，一只脚从纯粹数学的天空跨進了应用学科的地盘

和冯 · 诺依曼一样，斯坦 · 乌拉姆也是犹太人生于律师之家。在其1976 年初版的自传《一个数学家的经历》一开头怹回忆到四岁时就对家中东方地毯的复杂图形着迷。十一岁前当他目视着父亲书房内一本欧拉的书《代数》，那种“神秘的感觉”油然洏生在那个现在国际数学界已名闻遐迩的“苏格兰咖啡店”，年轻的乌拉姆和他的老师之一、现代数学分支“泛函分析”集大成者、二戰结束时因长期饥饿和重病而“壮志未酬”的杰出波兰数学家巴拿赫 (Stefan Banach, ) 等数学师友们持续不停地提出、讨论、争执以及解决数学问题其集體思维磨擦出的阵阵火花被他们及时地记录在著名的“苏格兰笔记”上。乌拉姆自己也经常惊奇“黑板或草稿纸上的一些乱涂会改变人类發展的进程”

乌拉姆是科学计算中十分有用的“蒙特卡罗法”的提出者之一。他 1960年出版的一本仅有 150 页的“小”书《数学问题集》是启迪哏随者们研究灵感的凝聚物他的两本文集《集合、数、及宇宙万象》和《科学、计算机、及故友》，充满令人称奇的数学智慧和超越时玳的科学思想他无愧于去世后，世人慷慨赠与他的“贤者”(Sage) 这一崇高称号

正如冯 · 诺依曼的一位传记作者所说，招入乌拉姆是冯 · 诺依曼“对原子弹做出的两大贡献之一”这两大贡献，一是找到了帮助洛斯阿拉莫斯数学化的快捷方式二是爆聚炸弹。对于后者在 1945 年 5 朤德国投降后的6 月 6 日冯 · 诺依曼写给乌拉姆的信中，他认为是乌拉姆的数学而不是其他的什么人做出了最大的贡献信中说：

“当我听说粅理学向集合论无条件投降时，特别高兴我认为独特的问题就应该有独特的解决方法才对。尽管基地知识界鱼龙混杂你几乎可说是这個想法之父。”

无独有偶在几年后的氢弹研制中，乌拉姆再一次发挥了神奇的作用1991 年再版的乌拉姆自传之后记中，他法国出生的太太弗兰科斯 · 乌拉姆回忆了令她牢记在心的 1951 年 1 月 23 日那一天中午：

“我发现他正在家中起居室表情奇怪地凝望着窗外的花园说道，

‘我找到叻一个让它工作的途径’

‘这是一个全然不同的方案，它将改变历史的进程’”

乌拉姆过世后，美国主流新闻杂志的悼念文章中说他“确实是氢弹之父”乌拉姆和特勒在洛斯阿拉莫斯的上司贝特早在 1968 年就评述道：

“氢弹被造后，记者开始称特勒为氢弹之父为了历史起见，我认为这样说更精确：乌拉姆是父亲因他提供了种子；特勒是母亲，因他‘十月怀胎’至于我，我猜我则是助产士”

尽管笼罩在战时的紧张气氛之中，洛斯阿拉莫斯国家实验室自由、宽松的学术研究气氛与乌拉姆的工作方式很合拍。他不必按时上下班在帮助科学家、工程师们进行原子弹设计计算之余还可以继续他天马行空般的、与原子弹无直接关系的数学研究。

四十年代的中后期随着冯 · 诺依曼帮助研制成功的第一台现代电子计算机的出现，方便而又快速的数值计算极大地帮助了创造型数学家的大脑思维成了他们提出問题、解决问题的好帮手。作为最早接触现代计算机的数学家在与像费米这样的大物理学家合作解决物理问题的过程中，冯 · 诺依曼、烏拉姆就和费米等人成了“非线性分析”这一集数学、物理、计算机等学科于一身的科学领域的开创者

我们生活的世界在“时间”这位統帅的率领下昂首阔步地向前进，直到乐观主义者的“无穷远”或到悲观主义者“世界末日”的有穷远为止。不管怎么样天生具有好渏心的人类都想预测未来，甚至是最终的未来一门新学科“非线性分析”由此而诞生，它不久也被称为“动力系统”对于这门学科和後来的“混沌学”的联姻关系，乌拉姆曾戏称道：

“把混沌研究称为‘非线性分析’好比是把动物学叫做“非象类动物的研究。”

非线性分析的目的主要是探索任何随时间而变化的量当时间走向无穷大时的“最终性态”时间是一个连续的自变量，它对应的函数变量往往滿足一个微分方程就像十九世纪末期庞加莱研究“三体问题”以及二十世纪中叶洛伦茨预测天气变化用到的那些根植于牛顿力学的微分方程。研究微分方程的解当时间趋于无穷大时的表现的那部分“动力系统”称为“连续动力系统”为了把一些复杂的问题简单化一点，峩们也可以把时间的长轴分成同等长度的无穷多个时间段最方便的划分是让时间取所有的正整数值 1, 2, 3,4, 5, … 。这样微分方程解的渐近性态就荿了“解在时间为 1 时的值”所定义的某个函数的逐次迭代之渐近性态。这就是被称作为“离散动力系统”的另一个学科所要做的事

想象仂丰富并且喜欢做“梦”的我国古代先秦战国时期的哲学家庄子(约前 369-前 286)无意中曾经叙述了一个离散动力系统问题：

“一尺之锤，日取其半万世不竭。”

这不光包含了古人关于“无穷”的思想而且，用离散动力系统的语言说他所表达的问题就是从初始数 1 开始，每次除以 2无穷次地除下去，最后的数将趋向于 0这是该计算过程之前就可以预测到的未来结果。

在数学上庄子的问题可翻译成迭代简单的线性函数 f(x) = x/2。中学生都知道线性函数的图像是一条直线，这条直线和笛卡尔发明的 xy-直角坐标系的的东北-西南方向对角线有一个交点这个交点嘚横坐标和纵坐标相等，所以该函数在这一点的值等于自变量的值称之为函数的“不动点”。如果我们嫌计算函数迭代太化费时间有┅条“几何的快捷路径”可走：

首先在x-轴上代表初始值x₀的那个点沿着竖线走，直到和函数的图像相交在交点处向左或向右转弯沿着横线赱，一直走到和对角线相交这个交点就代表第一个迭代点x₁。然后从这点沿着竖线走一直走到和函数的图像相交，在交点处向左或向右轉弯沿着横线走直到和对角线相交这个交点则代表第二个迭代点x₂。如此走下去我们就依次得到对角线上代表迭代点x₁,x₂,

把这个快速的几何方法用到一个线性函数，我们发现随便从哪一个初始点出发，对角线上那些迭代点的序列要么趋向于函数图像和对角线的那个交点要麼越走越远，最终走到无穷远无论如何，这些迭代点的最终性态是可以预测的这可不是未来的混沌学家想要看到的那样。因而线性函数的迭代是没啥可看的。“幸运”的是我们生活的世界几乎处处是非线性的

对于非线性的函数，更有趣的现象“纷至沓来”譬如说，冯 · 诺依曼曾经建议用如下的简单方法来产生区间 [0, 1] 上的“随机数”：任取一个六位小数平方一下，再砍掉小数点后的前六位数字得箌下一个六位小数。重复同一过程就得到一列随机数这相当于无穷次迭代非线性函数 f(x) =1000 x² (mod 1)，其中括号内的符号意思是砍掉函数值结果的整数蔀分

对于“一般”的非线性函数，早在 1931 年在不到 30 岁那几年已经硕果累累的冯 · 诺依曼就证明了第一批“遍历定理”中的第一个。这就昰被他自己视为一生中三大数学贡献之一的“冯 · 诺依曼平均遍历定理”受他工作的灵感启发，美国本土成长的哈佛教授伯克霍夫很快證明了“伯克霍夫逐点遍历定理”并抢先一步发表，这让解决问题太快的冯 · 诺依曼有点儿自责：为什么自己不多走几步呢这些第一玳遍历定理大致是说，如果无穷次地迭代一个“遍历”的非线性函数迭代点序列访问“相空间”内某一区域的“频率”恰恰等于这个区域关于整个空间的“相对大小”。这个事实简称为“时间平均等于空间平均”从而奠定了统计力学中不太严密的“波尔茨曼 (Ludwig Boltzmann, ) 遍历假设”の严密的数学基础。可惜这位现在看来越来越伟大的奥地利物理学家再也不能“破涕为笑”了因为早了四分之一个世纪他就因长期忧郁洏最终自缢身亡。

1947 年乌拉姆和冯 · 诺依曼研究了当今已成为“混沌学”这个学科中最有名气的“混沌函数”之一、所谓的“逻辑斯蒂模型”f(x) = 4x (1 – x)。这是一个初中生都认识的二次多项式函数它的函数图像是个开口朝下的抛物线。因为当 x = 0 或 x = 1 时函数值都等于 0这个抛物线通过 xy-直角坐标系中 x 轴和 y 轴的交点，称为直角坐标系的“原点”和 x-轴上位于原点右边与原点相距为 1 的那个点。更进一步地细看这个抛物线顶点嘚横坐标为x = 1/2, 纵坐标为 y = 1。所以当自变量 x 限制在 0 和 1 这两个数之间时对应的函数值也位于 0 和 1 之间。这样一来函数 f 把线段 [0, 1] “映入”到它自己之Φ，即 x 属于“区间”[0, 1] 隐含着 f(x)也属于[0, 1]

于是，闭上眼睛在[0, 1] 区间中随机地捡一个数x₀我们可以不断地迭代函数f，得到位于[0, 1] 区间上的一系列数峩们可以设想f 是一个“函数机器”，它输进的“毛胚”是自变量值x输出的“产品”是对应的函数值f(x)。迭代函数就相当于不断地把当前的函数值再输回到函数机器内得到下一个函数值如此循环地做下去，我们就得到下面的“无穷点列”：

乌拉姆和冯 · 诺依曼知道这些迭代點依次在线段[0, 1]上像俄罗斯作曲家柴可夫斯基(Peter Ilyich Tchaikovsky, ) 的芭蕾舞剧《天鹅湖》中的可爱白天鹅那样“翩翩起舞”跳来跳去。它们会像波兰伟大的爱國钢琴家肖邦(Frederic Francois Chopin, ) 的指尖在琴键上弹奏出他那大气磅礴的钢琴曲“革命”吗

乌拉姆和冯 · 诺依曼想知道这些看上去“无序”排列的迭代点是否在某种意义下“有序”。这个“意义”就是“或然率”在数学上它有一个专门化的名词：概率。

概率的问题到处可见乌拉姆的祖国哃胞和“非线性分析”的接棒人、已故波兰科学院院士洛速达(Andrzej Lasota, ) 这样讲概率：

“你准备离开一间屋子时，你出门的时侯有可能前后相差一分鍾随着时间的推移，又有不同的概率及可能发生的事要去考虑比如，有百分之十的可能你会发生车祸，而被送往医院；或许有百汾之十的机会，你会遇见从未谋面的漂亮女子而深深为之倾倒，一切皆是偶然所以事情会演变得愈来愈复杂，所有的事都牵涉到概率”

故约克曾经略微夸张地宣称：数学是概率的一部分。

乌拉姆和冯 · 诺依曼考虑了如下的“概率问题”：任取[0, 1] 区间内的一个子区间记為 [a, b]， 这些迭代点的无穷序列的每个点跳进这个子区间的总的或然率为多少算出或然率，就要先算出总数为有限的点列中符合要求的那些點出现的“频率”假如 10000 个点中有 4000 个点进入 [a, b] 子区间，那么频率就是前一个数被后一个数除等于五分之二。同样的道理在x₀, x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, … , x_n-1

这 n 个点中，若有 k 个点进入 [a, b] 子区间那么进入该子区间的点的频率为一个分数 k/n。所有迭代点中进入 [a, b] 子区间那些点的或然率就等于 当所有迭代点的个数 n 越來越大直至无穷时对应的频率值愈来愈趋近的那个数，如果这个“极限”数的确存在的话

乌拉姆和冯 · 诺依曼发现，对所有的子区间 [a, b]这些概率值不光存在，而且等于位于[a, b]上方的一个“曲边矩形”的面积并且对于“几乎处处”所取的初始点 x₀ 都一样，即概率值只依子区間而定而与初始点的选取无关。这个矩形的上边是一条形状像下垂的绳子的曲线该曲线是他们找到的“概率密度函数”y =1/{π[x(1-x)]^1/2}

因此，乌拉姆和冯 · 诺依曼告诉我们：“无序”排列的迭代点列在概率的意义下可以是“有序”的

从这个密度函数图像的形状可以看到，它在左边半个区间上是“递减函数”像下山，在右边半个区间上是“递增函数”像上山。并且当 x 的值越靠近 0 或 1 时函数值越来越大，最后趋向無穷大由此可知，区间 [0, 1]内两个小区间即便有同样的长度，若一个比另一个更靠近 [0, 1] 的两个端点之一则它对应的曲边矩形的面积比另一個大一点，因而迭代点序列进入第一个小区间的概率比第二个小区间的更大这说明“逻辑斯蒂模型”这个二次多项式函数的迭代点序列茬区间 [0, 1] 上不是“一致分布”的，在区间两端点旁比中央部分聚集着更多的点如果好奇心强的读者还想看看这些点到底是怎样密密麻麻地汾布的，可以进入美国波士顿大学数学系教授、斯梅尔的弟子中动力系统教科书写得最多的蒂凡尼(Robert L. Devaney, 1948-)的“动漫网站”(http://math.bu.edu/people/bob)去亲手体验函数迭代嘚乐趣。

这是乌拉姆和冯 · 诺依曼的“非线性分析”在数学分支“遍历理论”的花园中为我们采集的一朵“绚丽的小花”遍历理论研究“确定性”动力系统诸多的概率统计性质，是集测度论、泛函分析、拓扑学、近世代数等知识于一身的综合性纯数学科目同时也在物理、生命科学和工程科学中应用广泛，如统计物理、电子线路以及与我们日常生活密切相关的无线电话，甚至目前最有人气的网络搜索引擎“谷歌”(Google)

然而非线性分析的“星星之火”并没有很快在科学的茫茫大地上燎原开来，直到十年后一位终生喜爱天气的美国人无意中点燃了新的火种

天气预报是个古老并与我们的日常生活密切相关的问题。我们每天都要看看天气预报以决定出门是否带伞远古时代的天氣预报大概主要靠“猜”或“根据经验”，故传统的方式不太像科学更像“感官性”的技术。现代天气预报基于求解描述大气运动的微汾方程组理想的情况是我们能够预报长期的天气走向。如果能知道明年的今天天气是怎么样那多么好啊，但是中央电视台的天气报告員就要伤心难受因为饭碗可能要丢。这个科学幻想小说中可能描绘过的美好前景能够实现吗

上世纪在非数学的领域中对全人类可能贡獻最大的纯粹数学家冯 · 诺依曼是天气预报的乐观主义者。在他短暂的五十三年寿命最后的几年中牛顿式的、法兰西皇帝拿破仑 · 波拿巴(Napoleon Bonaparte, )军事学校十六岁时的考官拉普拉斯 (Marquis Pierre-Simon de Laplace, ) 发扬光大的“决定论”哲学思想占据着他智慧的大脑，认为描述天气的方程就像描述行星的方程一样都由牛顿力学确定，既然彗星能被精确预见多少年后再次光临天气为什么不能被精确地预报呢？不光如此他热情地展望，随着大规模科学计算的可能性跟随着计算机的发展而“接踵而至”人工控制天气的美好时代也将会“随之到来”。

天气变化是一个复杂的过程泹它被流体力学的基本定律支配着。天气预报依赖的是求解对应的偏微分方程组它们的解是温度、气压、风速等这样的函数变量，它们鉯时间及其地球表面上空一定高度内所有点的三个坐标数作为自变量要确定从某个初始时刻起以后依赖于时间和空间位置的天气变化的方程解，我们必须知道在那个初始时刻的温度、气压、风速等的空间分布而这些初始数据可以通过密布全球的观测站收集。所谓的“数徝天气预报”就是数值求解偏微分方程组“离散化”后的代数方程组，观测资料越多这些方程组的尺寸就越大，天气预报的准确度也僦越高但这在现代计算机出现之前的几百年间是难以做到的。

自从冯 · 诺依曼五十年代初在位于美国新泽西州的普林斯顿高等研究院造絀第一台计算机他就立下矢志，让越来越强大的计算机为天气预报以及更进一步控制天气，成长为一位“人造的英雄”真可惜，他芉万没有想到操纵天气变化的微分方程内在的性质即将扮演着“反英雄”的角色，让他所有的雄心壮志化为乌有

1961 年冬季的一天，爱德華 · 洛伦茨 (Edward Norton Lorenz, )教授像往常一样地走进他任教的美国麻省理工学院气象系的办公室继续用他的那台 Royal McBee 型的简陋计算机来计算与天气预报有关的彡个简单非线性微分方程的初值问题的数值解。

洛伦茨 1917 年出生于美国东北部新英格兰地区的康涅狄格州西 Hartford市从小就是一个气象迷，每天嘟在他家房子外面注视那个测量气温的温度计上的记录他先后在达特茅斯学院和哈佛大学学数学，最后获得达特茅斯学院的数学学士学位在第二次世界大战中的 1942 年直至战后的 1946 年，他如愿以偿地成为美国空军的一名气象预报员二战结束后，他又回到了学校读书兴趣自嘫转向到气象学研究，故决定学气象并从麻省理工学院拿到这个领域的两个学位。他最终成了这所名校的气象学教授

一年前，也就是 1960 姩洛伦茨选择数值天气预报方程时，选取了十二个微分方程来决定十二个变量用计算机来模拟天气。一打方程对于当时的计算机计算起来还是有点多。最后他决定从耶鲁大学某个教授研究过的一组七个方程中选出三个，这些方程描绘流体的对流运动即受热流体的仩升运动，就像当我们夏天走在被太阳烤热的柏油马路上看到的冉冉升起的气流那样这三个方程是非线性的，却是十分简单的非线性呮有二次项出现，并能对他制造的“玩具天气”令人信服地模拟

这一天，与往常一样算了一阵子之后为了去喝咖啡，洛伦茨暂停了计算只是把计算机终端上的数据抄了下来，作为再次计算的初始数据输入计算机然后他穿过大厅下楼喝咖啡去了。

一小时之后他回到办公室十分吃惊地看到计算机并没有精确地重复老结果，这不是理所当然的事照理说，程序一样初始值一样，输出结果也应该一样難以理解的是，他发现新的计算结果同上一次的计算结果随着时间的推移迅速偏离面貌全非。不到几个“月”时间“天气”完全不一樣了。严谨而又细心的他将信将疑地重新算了几次类似的现象在反复试验中总是出现。他的脑海里立刻闪过一个念头：计算机坏了

但昰，计算机完好无缺一霎那，洛伦茨明白了这个伟大的理解，借用格莱克的语句“播下了一门新科学的种子。”

原来计算机内存Φ的数据保持六位小数，输出时为了节省空间只打印了四舍五入后留下的三位小数，比如 0.123456 打成 0.1230.456789 打成0.457。他喝咖啡前抄下的数据只有三位尛数与旧的计算结果仅仅相差不到千分之一而打进计算机的初始值，新的计算结果和原先预期的计算结果就会大相径庭这真是奇怪的現象，与人们通常的观念相悖

通常的观念是：小的输入误差导致小的输出误差。这是一切物理、几何测量的依据任何测量都有误差，泹只要误差足够小结果就足够精确。譬如要算出一个正方形的面积经验告诉我们，只要边长量得足够仔细算出的面积就足够满意。

泹是小的输入误差也会导致大的输出误差。如果我们用天文望远镜来观察月亮上的一个物体望远镜仰角极小的增加就会把我们的视线落在另一个相距甚远的目标上。这是因为地球和月亮之间的距离作为角度测量误差导致弧长误差的“放大因子”，是太大了

即便放大洇子不太大，重复不断的放大也会“聚沙成塔、集腋成裘”让我们做个简单的“数学实验”。随便取一个 0 和 1 之间的数加倍一下。如果結果还在 0 和 1 之间就得到下一个数，再做同样的事；如果结果比 1大就砍掉它的整数部分，得到下一个数再做同样的事。如此周而复始给出一个迭代过程，所有的迭代点都落在 0 和 1 之间

这个迭代产生的数列的每一个数都是前一个数乘以 2，再去掉整数部分例如，如果第┅个数是 0.1那么它后面的数为 0.2，0.40.8，0.60.2，等等如果第一个数有了 1% 的误差，那么第二个数的误差就为 2%第三个数的误差为 4%，以后依次为 8%16%，32%64%，等等我们看到，第七个数的误差就比初始误差放大了 2⁶ = 64 倍 洛伦茨在他的计算中看到了这种“对初始值的极端敏感性”。他终于领悟到这一异常现象根植于天气预报所依赖的微分方程组的这个内在特性而不是什么计算过程中的舍入误差在作怪。后来在他写的《混沌的本质》这本有中文译本的书里，他再一次回忆到他当时的想法：

“如果实际大气的形态像这一简单模式的话那么长期天气预报将是鈈可能的。温度、风以及其他和天气有关的量确实不能精确地测量到三位小数。即使能够这样但在观测点之间进行内插也不能达到类姒的精确度。我有些激动并且很快将我的发现告诉了一些同事。最终我确信小的差别的放大是缺乏周期性的原因。”

“一个确定性的系统能够以最简单的方式表现出非周期的形态”洛伦茨把他的发现和分析写成了论文“确定性的非周期流动”，发表在《大气科学杂志》1963 年的第 20 卷上日后，他把这一现象形象地比喻成“蝴蝶效应”用在了他 1979 年 12 月 29 日在美国科学促进会的演讲题目：“可预见性：一只蝴蝶茬巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？”

天气预报的“蝴蝶效应”由于格莱克 1987 年那本面向大众的国际畅销书《混沌》而成为路人皆知的一个形象说法、一个专用名词美国南密西西比大学数学系的费 (Temple H. Fay, 1940-) 教授找到一个简单的三角函数，用极坐标画出的图像看上去是一只美麗绝伦的蝴蝶他的漂亮作品发表在 1989年 5 月期的《美国数学月刊》(The American Mathematical

约克对“不可预测性”的概念也有过形象的说明：

“生命中是充满着小改變导致大变化的情形。例如说车祸假如人们早个或晚个十秒钟出门，或许就可避免一场车祸所以小小的改变可以导致很大的变化。”

這也体现在中国的成语“差之毫厘谬以千里”之含义中。“控制论之父”、美国第二个“国家科学奖”的获得者维纳 (Norbert Wiener, )曾引用过这样的一艏民谣：

它十分形象地描绘了日常生活和社会变革中随手拈来的混沌现象

在自然科学领域，混沌现象的发现与相对论、量子力学一起被┅些科学家们誉称为二十世纪物理学上的三大革命混沌这门学科的第一次国际会议1977 年颇具意义地在文艺复兴时代的发源地意大利召开。夶会组织者之一、美国佐治亚理工学院的物理学家福特 (Joseph Ford, ) 说：

“相对论除去了绝对空间与时间的幻想量子力学清除了可控测量过程的牛顿夢，而混沌学则宣告了拉普拉斯决定论式可预测性的幻灭”

劲头十足的动力学家们继续研究混沌。法国庞加莱未竟事业的继承人之一、茬巴黎郊外那个可视为美国普林斯顿高等研究院对等物的高等科学研究所钻研数学和远足探险并举的物理学家茹厄勒(David Ruelle, 1935-)和他的访问者、荷兰數学家塔肯斯 (Floris Takens, ) 1971 年发现令人生畏的湍流与充满混沌的一种他们命名为“奇异吸引子”(Strange Attractor) 的几何结构有关他们的题为“湍流的本质”这篇论文，虽然全是数学风格充满定义、定理和证明，却给了求解这一物理难题一个全新的视野

所谓“奇异吸引子”是指一个动力系统的解曲線最终被一个混乱的吸引子吸去了。也就是说若我们跟随这些曲线走，最后会趋近于一团混乱的状态毫无规则可寻。这种奇异现象在②维空间的微分方程里不会发生，这是因为庞加莱-本狄克森(Ivar Otto Bendixson, )定理所致：在二维平面内从任一点出发并不能自我相交的有界的一维解曲線，就像那些极权专制国家的人民那样无甚自由度无处可跑，只好趋向于一个平衡点或称之为“极限环”的一条闭曲线这个周期解在潒洛伦茨所碰到过的三维或更高维的微分方程，空间的自由度加大了颇像自由的公民享用的民主政治，解曲线可以肆无忌惮、见缝插针哋到处乱窜就有可能产生“奇异吸引子”。

一下子“奇异吸引子”成了引人入胜的热门话题研究者们，包括美国的威廉斯 (Robert F. Williams, 1927-)首先对准叻洛伦茨那个名气最大的天气模型。洛伦茨在他 1963 年的论文里附了一张像无穷大符号“∞”的图看上去也像阿拉伯数字 8 夜间躺下睡觉的样孓，右边只有两条曲线而左边有五条，这是他的微分方程组的解作为“运动的点”在“相空间”的一部分轨迹是 500 次相继计算的结果。這个图看上去也像蝴蝶的一对翅膀这是否已经预测了他未来的“蝴蝶效应”这一说法？

实际上洛伦茨画出的只是茹厄勒和塔肯斯所发现嘚“奇异吸引子”的最初几根线条虽然洛伦茨已经看到了比他图中画的更多的东西，但他仍对这个扑朔迷离的“一团麻线”难以想象這个吸引子是稳定的和非周期的，它像螺旋线般的无穷多个环线永远不与自己相交但在有限空间里宛如一只惊恐的小飞虫在两对蝴蝶翅膀之间随机地乱飞，忽上忽下、忽左忽右行踪像魔鬼一样地飘忽不定。当茹厄勒十年后得知洛伦茨的工作提供了他自己理论的一个实际模型时其惊讶和激动的表情是可想而知的。

虽然洛伦茨没有明确地定义混沌的精确意思但作为继庞加莱之后第一个揭示自然界的不可預测现象的科学家，他被广泛地尊崇为“混沌之父”获得了像日本“京都奖”这样的许多荣誉。他的那篇划时代论文成了十年后点燃“李-约克混沌”概念思想火花的“火花塞”。

沿着气象学家洛伦茨的道路一些使用非线性微分方程的工程学家继续在“混沌的家族”中添砖加瓦。加州大学伯克利校区电子工程与计算机科学系的菲律宾华裔教授蔡少棠(Leon Ong Chua, 1936-) 1983 年以他发明混沌的“蔡-电路”而一鸣惊人而从 2010 年起接替他担任《国际分支与混沌杂志》主编的香港城市大学电子工程系讲座教授的陈关荣(1948-) 也以他 1999年作为洛伦茨系统之“对偶物”的混沌“陈-系統”而享誉工程界。他也是国际上的“混沌控制”学说的早期开拓者之一和“混沌反控制”理论的创始人2008 年以他为首的研究小组获得中國“国家自然科学奖”的二等奖。对经典的“三体问题”推广之后的“多体问题”有诸多贡献的美国数学家萨内(Donald G. Saari, 1940-) 2001 年甚至出版了名叫《混沌選举》的一本学术专著（顺便提一句，他优秀的中国学生夏志宏(1962-) 在其 1988 年的博士论文中解决了关于“多体问题”的一个“百年猜想”）

囿趣的是，蔡少棠的大女儿蔡美儿（生于虎年现为耶鲁大学法学院讲座教授）在 2010 年出版了一本回忆为母十八年的书《虎妈妈的战歌》，其中记载的对一双女儿苛刻要求的“十不准”原则引发了东西方“育儿经”孰是孰非讨论的“天下大乱”：赞美之、诅咒之、理解之、茫嘫之、笑纳之、悲泣之不一而足。这本新作在读者大众中激起的混沌程度绝不亚于她已经“颐养天年“的老爸当年创造的混沌电路！

整個六十年代关于混沌还有一点零星的其他发现，如法国的天文学家埃侬 (Michel Henon, 1931-) 研究了银河系的轨道并以一类“埃侬映射”这一平面映到自身帶两个参数的混沌变换留名。但是只有眼光敏锐、思想深邃的数学家们试图从整体上来理解不规则行为的真正原因。这样的洞察好像让峩们再次看到了中国大画家徐悲鸿 () 笔下的“骏马铁蹄”

（五） 巴西海滩的“马蹄”

生于美国密西根州 Flint 市的斯蒂芬 · 斯梅尔 (Stephen Smale, 1930-) 是个有独特个性的数学家，这不光体现在他的数学研究上也在于他独立思考的政治态度。1966 年夏天的 8 月中国的文化大革命正在如火如荼之时，毛主席茬天安门广场的城楼上接见激动得热泪盈眶的百万红卫兵小将而此时的斯梅尔达到他个人学术生涯荣誉的最高峰：抵达莫斯科的有 5000 人参加的国际数学家大会领取菲尔兹奖。加拿大数学家菲尔兹(John Charles Fields,) 去世前捐出 47000 美金建立了这个“数学的诺贝尔奖”每四年全世界 40 岁以下的数学家呮有二到四人获此殊荣，比得诺贝尔奖还难

在国内，意气风发、精力充沛的斯梅尔就是一位“反越战英雄”美国国会恰巧在他获菲尔茲奖的当天正在举行听证会，调查他和鲁宾 (Jerry Rubin,1938-) 1965 年在他任教的加州大学伯克利校区建立从事反战抗议活动的“反动”组织“越南日委员会”并擔任共同主席的这件事国际数学家大会快要结束之际，在莫斯科大学的宽阔台阶上年轻时曾经“左倾”的斯梅尔应一位北越记者的邀請举行了记者招待会。他以谴责他自己的国家对越南的武装干涉开始这让招待会在场的主人、冷战时期的苏联人大喜过望。

突然间他話锋一转，进而谴责苏联入侵匈牙利以及国内缺乏政治、言论和出版自由这让刚刚高兴的主人尴尬不止。由于公开得罪了超级大国的政府他立刻被请入汽车，在公众视野里消失了几小时但仍受苏联官方礼遇，未有太大麻烦可能是受惠于手中的菲尔兹奖章。还未回到媄国国家自然科学基金会主任就毫不留情地马上扣下了资助他研究的两个月夏季薪水的第二张支票，并指控他一大堆“经济问题”如“滥用政府资助，整夏欧洲旅游”所谓“欲加之罪，何患无辞”第二年当他继续申请自然科学基金会资助时，某些让基金会领导害怕嘚美国国会议员还不想“放他一马”百般刁难。生性倔强的斯梅尔毫不妥协在校方及数学家同仁的支持下最后以胜利告终。这真是极具讽刺意义的故事：批评过苏联缺乏言论自由的斯梅尔在标榜“自由、民主、平等”的祖国也饱吃了一餐“言论自由”的苦果

斯梅尔出苼在一个美国的共产党员之家，青年时代的他也加入过这个组织这并不奇怪。在那时代熬过三十年代大萧条的美国人有许多对共产主義的想法发生了兴趣，对苏维埃的制度向往当代美国有数学家布劳德三兄弟(Felix Browder, 1927-, William Browder, 1934-, Andrew Browder)，前两位都曾当过美国数学学会的会长 他们的父亲老布劳德 (Earl Browder, )担任过十六年美国共产党的主席 ()，直至被他的“同志们”赶下了台奥本海默年轻时也在共产党组织的边界上徘徊过，他后来自杀的美麗未婚妻以及他的弟弟都是共产党员美国一本书中说得颇为幽默:“If you don’tbelieve in communism when you are 20, you don’t have heart.

斯梅尔在家乡仅有一间教室的一所乡村简陋学校读到八年级，以铨班第三名的成绩高中毕业没有显现任何天才迹象，但被视为一个孤独者和象棋高手不像匈牙利的冯 · 诺依曼或美国的费恩曼，中学時代的他不太是一个“算得快”的少年可能像中国的传奇数学家陈景润()一样不太适合参与奥林匹克数学竞赛。他获得四年免学费奖学金茬离家仅仅一步之遥的号称“美国大学之母”的密西根大学读本科后来一直读到 1956 年，在年轻的教授、匈牙利人博特 (Raoul Bott, )门下获得他的博士学位在密西根教书三十年后去了哈佛的一个斯洛伐克人，高大的杰出数学家博特在1953 年开设了一门代数拓扑课除了一大群旁听教师，只有彡名本土的研究生注了册其中的两人，斯梅尔和芒克斯 (James Raymond Munkres, 1930-)都成了著名的拓扑学家，后者的教科书《拓扑学》一直是这个行当好评如潮的夶学生标准教材后来，博特却以调侃的口吻说过第三位的研究生贝利(James Berry)是“真正聪明的一个”，可惜他未完成学位

除了大一算是好学苼，斯梅尔本科期间后三年的成绩大都是“非 B 即C”甚至核物理课拿了个不体面的 F（不及格）。这一部分原因是他对敏感政治活动的投入在麦卡锡(Joseph McCarthy, )主义“清算共产主义”方面不光与官方不配合，反而经常与校方对着干幸运地被本系录取为研究生后，他的平均成绩依然是 C,矗到 1953 年 6 月收到系主任一封措辞强烈的“最后通牒”信威吓着要赶他走，这才真正用功起来从此，政治向数学低头马列主义让位于拓撲学。大器晚成的他真是个“浪子回头金不换”的最好正例也是流行中国的口号“不让孩子输在起跑线上”的最好反例。后来的斯梅尔卻以强有力的数学洞察力著称于世例子之一就是他拿到博士之后在其学术生涯第一站的芝加哥大学教书首年，就与一般直觉相反地证明叻数学意义上的“球体翻转”–他有生以来第一个世界级水平的结果

斯梅尔最伟大的工作都和庞加莱创立的拓扑学和动力系统有关。拓撲学研究的是几何图形在像挤压、拉伸或扭曲这样的“连续变形”下仍然保持不变的那些性质在欧几里得(Euclid, 前 330-前 275)的几何里，圆和椭圆是两樣完全不同的东西但在拓扑学里它们却被看成是一模一样的东西，因为一个圆铁圈一被挤压就变成一个椭圆圈但是，一位少妇手腕上戴的玉镯表面和她儿子玩的皮球表面不光在欧几里得几何里不一样在拓扑学里也不一样。学过拓扑学的学生都会津津有味地谈论为什么烸个人头顶上都有一个旋窝不长头发，他们也知道为什么地球上不可能每个地方都同时刮“不管是西北风还是东南风”

像斯梅尔这样嘚拓扑学家们考虑一个几何物体是否连通、是否有洞、是否打结。他们研究比我们的眼睛可以看到的一维曲线或二维曲面更为一般的“拓撲流形”斯梅尔获得菲尔兹奖的成就是证明了对于维数大于四的“广义庞加莱猜想”，即 1904 年庞加莱提出的关于一类三维流形是否能与三維球面“拓扑等同”的著名猜想在四维以上的情形四维的广义庞加莱猜想1982 年被美国人佛雷德曼 (Michael Freedman, 1951-) 解决，并获菲尔兹奖庞加莱猜想最终被俄罗斯数学天才佩洛尔曼(Grigori Parelman, 1966-)“临门一脚”攻破，但他不光拒绝了随之而来的菲尔兹奖而且拒绝接收由美国波士顿的成功商人兼数学爱好者克莱(Landon T. Clay)夫妇 1998 年设立的克莱数学研究所为全球公开悬赏求解庞加莱猜想而设立的一百万美元的奖金。

当斯梅尔摘取了庞加莱之树的第一个果实並奠定了他在本领域中的大师地位后他“挥泪告别拓扑学”，踏进了动力系统的新疆场奇怪得很，庞加莱这个取名为“动力系统”的尛儿子在他死后五十年间没有他另一个儿子“拓扑学”那么风光研究者寥寥无几，尤其是与微分方程有关的“微分动力系统”历史是洳此的巧合，几乎是同时当洛伦茨在北美洲东海岸的美国麻省理工学院摆弄着他的天气模型时，斯梅尔在南美洲巴西里约热内卢的纯粹與应用数学研究所和临近的 Copacabana 海滩上发明了他的“马蹄”

斯梅尔首先考虑的问题与动力系统的“结构稳定性”有关。低维系统的结构稳定性概念源于三十年代以柯尔莫果洛夫 (Andrey N. Kolmogorov, ) 为首的苏联学派1961 年被美国哥伦比亚大学高薪挖去当正教授前，刚刚三十出头的斯梅尔在莫斯科见到仳他更为年轻的四位崭露头角的数学家阿诺索夫 (Dmitri V. Anosov, 1936-)、阿诺德 研究圆这个特殊的数学框架时用到结构稳定性但他未能将他得到的有关结果推廣到更一般的动力系统。斯梅尔 1958 年申请到国家自然科学基金会两年资助到普林斯顿高等研究院做“博士后”研究认识了早一年去那里访問的佩肖托，并洞察到这一概念的巨大前景

但是一开始，斯梅尔就给出了一个关于稳定性问题的错误猜测其实，在研究家的探索过程Φ这不奇怪。现在哈佛任教的卓越华人数学家丘成桐(1949-) 因为证明极其难解的“卡拉比(Eugenio Calabi, 1923-)猜想”是对的1982 年荣获菲尔兹奖，但是一开始他差点兒“证出”卡拉比猜想是错的

生活中到处都有关于稳定性的问题。站在高山之巅上欢呼的人要特别地小心因为稍有不慎就会坠入深渊。但是年轻的父母不必担心放在圆锥形摇篮内的婴儿会掉下来前一个情形的平衡状态是“不稳定”的，因为一个小小的扰动就回不了原先的平衡位置而后一种情形的平衡状态却是“稳定”的，因为任何一个小扰动不会妨碍又回到原先的平衡位置

上述的“稳定”或“不穩定”是关于一个固定系统的一个平衡点而言，因而称之为“平衡点的稳定性”这是一个局部性的稳定性问题。斯梅尔关心的是一种全局性的稳定性问题即当动力系统本身稍微改变一点时，系统的解是否有本质性的变化这就是系统的“结构稳定性问题”。

如果原为圆錐形的山顶削成四面体形锥体站在上面还是一样危险。同样如果把圆锥形摇篮做成更为美观的半圆形摇篮，婴儿照样安全所以，这些系统的小小改变并没有改变平衡点的性质系统是“结构稳定的”。

有“结构不稳定”的例子吗会画指数函数图像的人就有一例。中國的高中生都知道每一个以大于 1 的数a为底的指数函数y = a^x的曲线都经过y-轴上半部和原点相距为 1 的那个点它向上弯曲（向下凸）并且递增，底樾大递增越快，曲线越陡峭底越靠近 1，递增越慢曲线越平坦。当底为某一个特别的常数时更确切地说，为e (约为 2.71828)的e分之一次方这个茬1.445 附近的常数时这条曲线恰好与xy-轴的对角线 y = x相切于(e, e) 这个点，并站在对角线的上方这就保证了这个特别的指数函数有，并且只有一个“鈈动点”（刚好为e）只要底比这个常数小，对应的曲线和对角线相交于两点就是说该函数有两个“不动点”，而底大于这个常数的曲線再也不碰到对角线了这时的函数就没有任何“不动点”。没有学过高中代数的人可以想象一根竖着的朝上开口的抛物线铅丝向上“穿過”一根挂衣服的水平绳线时的情形：先有两个截点然后是一个切点，最后没有交点

上面一段落的“千言万语”汇成一句话：底为e^1/e的指数函数这个“系统”是“结构不稳定”的，因为底的变大或变小改变了不动点的数目实际上，连不动点的性质也起了变化懂得初等微积分并喜欢读读“课外书籍”的大学生可以打开《美国数学月刊》的姐妹期刊《高校数学杂志》(TheCollege Mathematics Journal) 2009 年 11 月的那一期，翻到一篇名叫“指数函數的动力学”的文章其第二、三页上就有你想要看到的图形和分析。

斯梅尔考虑的描述微分动力系统的微分方程带有可以取不同值的某些参数。例如对于洛伦茨研究的热对流天气模型，流体的粘性指数就是一个参数参数的大变化当然导致系统的解的大变化。自然地人们都希望，小小的参数变化只会导致系统的解的微小变化并且不改变解的主要性质，也就是说系统是结构稳定的。

斯梅尔最开始嘚错误猜测大意是：具有不规则解的微分方程（即后来所称的混沌系统）不可能是结构稳定的他定义了一类结构稳定的微分方程，后来被大家称为“莫尔斯 (Marston Morse, )-斯梅尔型”的并宣称任何一个混沌系统都可用这类方程中的一个来任意逼近。学过大学矩阵理论的人可以这样来类仳：具有固定行数和同等列数的所有的“非奇异矩阵”都可被看成是“结构稳定的”而每一个“奇异矩阵”可被某个非奇异矩阵任意逼菦。可惜的是矩阵的这个性质在微分方程中的类似并不成立。

正当斯梅尔和他的太太在里约热内卢的临时公寓里被他们两个婴儿的尿布忙得不可开交时1960 年元旦前寄来的一位数学同行的信让他大伤脑筋，就像十多年后年轻气盛的明日之星丘成桐公众宣称“卡拉比猜想”不對后不久收到意大利出生的犹太人、美国宾夕法尼亚大学数学系讲座教授卡拉比本人寄来的“质疑信”那样令人苦恼。

这封信来自一位茬维纳的熏陶下由电子工程硕士转变成的数学家、也曾是共产党员并在 1953 年在专门设立的调查共产党的国会非美委员会巨大压力之下“反悔”的麻省理工学院教授莱温松 (Norman Levinson, )他在信中描述了他于 1949 年发表的一篇论文中所考虑过的一个既是混沌的又是结构稳定的系统，小小的扰动并鈈让解的不规则性态消失掉其实，这个“斯梅尔猜想”的反例是四十年前被一名荷兰工程师和物理学家范德波尔(Balthasar van der Pol, ) 研究过的刻画具有周期驅动电路的一个二阶非线性常微分方程这个系统的解是不可预测的，但系统却实实在在是结构稳定的和摇篮里的婴儿一样稳定得“固若金汤”。事实上斯梅尔后来知道，洛伦茨将要研究的那三个微分方程解的不规则性在小扰动下也是保持不变的但是他们当时并不认識对方，直到七十年代初约克把洛伦茨的论文寄给斯梅尔后他才知道洛伦茨这个人及其工作。

得到莱温松这个重量级数学家的启发受過拓扑学训练而导致几何思维发达的斯梅尔深思熟虑，一下子“豁然开朗”在他 1998 年发表在美国大众数学杂志《数学信使》(Mathematical Intelligencer) 第二十期上的“混沌：在里约的海滩上发现马蹄”这篇文章里，他回忆道：

“无论如何我最后说服自己莱温松是对的而我的猜想是错了。混沌已经隐含在卡特赖特与李特尔伍德 的分析之中！迷途已经解开而我则作出错误的猜测。但是在这学习的过程中我发现了马蹄！”

“少有翻版”的英国女数学家卡特赖特(Mary Lucy Cartwright, )和“屈指可数”的男分析学家李特尔伍德 (John E. Littlewood, )之间的“科学组合”是继后者与同是英国人、并为前者之博士导师的囧代(Godfrey H. Hardy, )更早先的“强强联手”，在哈代 70 岁过世之后的“解析延拓”他们对微分方程理论的精深研究，影响了几代这个领域的学者

这个孕育在巴西海滩上的斯梅尔“骏马铁蹄”是怎样的东西？它又怎样踏进混沌的疆场

我们在纸上画一个长方形，用 A、B、C、D 从左下角起顺时针來依次记它的四个顶点我们设想把长方形横向拉长，同时纵向缩短变成一个瘦长的长方形。这个过程有点像山西人做拉面面条越拉樾长、越拉越细。然后把它弯曲成一个马蹄形使得长方形的左边出现在马蹄的上面顶端。马蹄对应的四顶点依次记为 A’、B’、C’、D’丅一步将马蹄放到原先的长方形上，它们相交成位于长方形内的两个有一定距离的平行的狭长长方形

把这些操作复合成一步完成，就可鉯想象这定义了一个把长方形映到马蹄上的函数 h它把长方形的每一个点映射到马蹄的一个点，例如h 把 A点映到 A’点， 不同的点映到不同嘚点相近的两点映到相近的两点。反过来马蹄的每一点都是长方形的某一点被 h 映来。这个函数是一个拓扑学家们经常挂在嘴上的“拓撲同胚”

斯梅尔构造的这个“马蹄函数”不属于他以前提出的“莫尔斯-斯梅尔型”的。他证明它不光是混沌的而且是结构稳定的。其混沌与庞加莱在求解“三体问题”时苦苦思索过的同宿点存在性有关同宿点联系着系统在将来和过去的相反方向时间都趋向于同一个不動点这一平衡状态。在美国第一代数学家领袖之一莫尔 (Eliakim Hastings Moore, ) 手中拿到芝加哥大学博士文凭的伯克霍夫沿着庞加莱的思路进一步证明在同宿点附菦有无穷多个周期状态但是他的工作在之后的几十年内只是在故纸堆里睡大觉，一直到斯梅尔在巴西的研究所里叫醒它

斯梅尔还记得當时的情形：“我从检视纯粹与应用数学研究所图书馆内的伯克霍夫文集而知悉同宿点和庞加莱的工作。” 　我们已经看到在马蹄函数作鼡一次后原先的长方形中有一部分的点将留在长方形内，这些点事实上构成两个平行的瘦高长方形运用想象力，可以感知如果连续作鼡马蹄函数两次那些仍然留在长方形内的那些点将组成四个平行的更瘦削的长方形。作用三次就有八个平行的细细的长方形，看上去潒物理光学实验课上看到的黑白相间的光谱线它们的点在迭代马蹄函数三次后还留在原先的长方形内。不断迭代下去我们就会“看”箌愈来愈细、愈来愈多的“光谱线”。山西手工拉面的行家可能更容易体会它：多次拉面的动作就会拉出越来越多、越来越细的面条这個漂亮的“几何图像”让我们立刻想起一个人，一个由于受到大权在握、极其富有金钱的同胞数学家克罗内克 (Leopold Kronecker, ) 全方位的“数学迫害”前後三十年一连串精神失常并在疯人院度过一生最后时光的倒霉德国人–“集合论之父”康托尔(Georg Cantor, )。

十九世纪末期的 1883 年康托尔构造了实数轴仩的一个点集合。他把0 到 1 之间的数区间 [0, 1] 这一线段分成三等份然后把中间那个等份的线段去掉，但留下它的 1/3 和 2/3 这两个端点在剩下的两个線段 [0, 1/3] 和 [2/3,1] 中再去掉中间的三分之一。这样就剩下四个小线段：[0, 1/9], [2/9, 1/3], [2/3,7/9], [8/9, 1]再去掉每一段中间的三分之一，如此重复做下去直至无穷。这样构造的一個点集称为“康托尔三分集”它包含所有被挖掉的线段的端点和其他没被挖掉的点。事实上这个康托尔集由不可数个点组成，但它本身不包含长度可以任意小的任何线段无限地稀疏。

康托尔三分集的几何有个有趣的特色这个称为“自相似性”的性质后来被“分形学”借了过去而大放异彩。如果我们只局限于看到三分集从 0 到1/3 的这一段一旦放大三倍，就会发现它的结构和原先的整个三分集一模一样紦 0 到 1/27 这一段放大 27 倍也是一回事。其实三分集的任一小段放在放大镜下看都和整个三分集完全相同，就像小皮球放大一亿倍后看上去是个夶月亮这个数 3 就是康托尔集自相似性的“放大因子”。

康托尔的这个集合虽然出现在数学系本科生所修的课程《实变函数论》的教科书Φ但跟他的其他伟大发现相比简直是“小巫见大巫”，只是他创造的震撼数学界的“集合论”大餐中的“一碟小菜”而已故贝尔在他嘚大作《数学伟人传》中最后一章“失乐园？康托尔”谈到他的数学时就根本没提及到它康托尔集除了在《实变函数论》中偶尔露个面，被关在集合论的象牙塔里几乎一百年和美不胜收的自然界“老死不相往来”。

斯梅尔的马蹄动力学就这样和康托尔三分集联姻起来將伯克霍夫早先的想法再向前推进，斯梅尔证明了他的马蹄函数同宿点的存在以及由此产生的迭代过程最终性态对初始状态的敏感依赖性而这就是混沌的本质。几年后他那里程碑式的有名长篇综合报告“微分动力系统”也在 1967 年被《美国数学会通报》(Bulletin of the American Mathematical Society)发表，马上被这个领域的建筑师们欢呼为一座“标志性大厦”

当数学家斯梅尔在他的微分动力系统开创性研究中大玩“高深数学”而大显身手的时候他大概對一般只用到一点点“低级数学”的生物学“不屑一顾”。然而就在这时，普林斯顿大学的一位动物学教授斩钉截铁地向世界宣告：简單的数学模型也可能复杂得令人乍舌

（六） 莫名其妙的人口涨落

十八世纪末的 1798 年，西方的英国有位名叫马尔萨斯 (Thomas RobertMalthus, ) 的经济学家出版了一本書《人口论》忧心忡忡地提出了他的“人口理论”：人类赖以生存的生活资料是以算术级数增长的，然而人类自己却是以几何级数增长嘚如果n代表未来的年数，前者的增长像n²后者的像 2ⁿ。当 n 为 20 时 20² 仅为 400，但 2²⁰ 已经超过一百万马尔萨斯解决人口过剩的简单而冷酷的办法是：战争。

一百六十年后东方的中国也有一位姓马的经济学家。他的全名是马寅初()早年拿过美国哥伦比亚大学的博士学位，时任北京大學的校长1957 年，他在《新人口论》中也忧心忡忡地担心中国的人口如不注意节制就增长太快了。他的担心是对的但是相信“人多力量夶”的最高领导认为他杞人忧天，不是另一个姓马的“共产主义之父”马克思的信徒虽然他多年失去话语权，但每天洗冷水浴的他比活叻 99

“人口动力学”这个学科并不一定要研究人尽管研究人口很重要。中国人宋健 (1931-) 的“人口控制论”研究就在国际上有口皆碑人口动力學更正式的名字叫“生态学”，英文术语是 Ecology研究的是生物种群数目的涨落、生命的盛衰。曾为英国“首席科学家”的罗伯特 · 梅 (Robert M.May, 1936-) 男爵就昰在生态学领域里发现了混沌现象的一位生态学家

梅和乌拉姆一样，生于律师之家但不是犹太人。他 1959 年在祖国澳大利亚的悉尼大学获嘚理论物理学博士学位然后去了哈佛做了两年“博士后”，研究应用数学回到母校做到理论物理正教授之后，他“心血来潮”地对生粅学着了迷1971 年他到普林斯顿高等研究院呆了一年，不干别的专找普林斯顿大学的生物学家“聊天”。1973 年硕果累累的他就成为普林斯頓大学的动物学讲座教授。

当年马尔萨斯的人口无限制增长模型太过粗糙了因为它只用到线性函数。在食品无限充足的最理想情况下洳果一个种群的数目每年按某个增长率增加，那么种群下一年的数目为一个大于 1 的参数 r 乘上当年的数目即迭代的函数为线性函数 f(x) = r x。这样嘚话种群个数最终趋向无穷大，就像放在银行的存款永远不拿那样然而，任何生命体有生也有死，有复杂的生存环境如天敌的存茬。非洲狮子的数目不可能无限制增加因没有足够多的斑马供它们享用，同样斑马也不会太多，因为狮子总想吃它们

这样，种群的數目必定随时间有升有降要得到更反映现实的模型，生态学家合理地假设：种群数小时上升很快数目适中时增长速度为零，而在数大時急剧下降如果我们用 0 表示绝种，用 1 表示可设想的最大种群数那么“相对种群数”x 由 0 与 1 之间的一个数来表示。满足上述自然要求的最簡单的“相对种群数”函数是拿原先的线性函数 r x 乘上因子(1 – x)得到的函数是一个二次多项式 f(x) = r x (1 – x)，其中参数 r 代表着种群的增长率当 x 上涨时，1 – x 下跌它们的乘积就会制约种群数目的变化。

这个最简单的二次模型称为“逻辑斯蒂模型”它的函数图像是开口向下的抛物线。当 x 從 0 上升到 1/2 时函数也跟着上升，但当 x 从 1/2 继续上升到 1 时函数却随之下降。这恰恰反映了种群数目的涨落规律

这个函数的计算看上去连初Φ生都会难不倒，但在梅对它发生极大兴趣之前没有人想到它的迭代点走向会复杂得如此令人眼花缭乱。后来的发展跟生态学家以前“種群数以相当规则的周期性在某个平衡点附近上下浮动”这个在大众眼里也说得过去的传统观念相悖

梅开始了这样的迭代，并逐步增加參数值 r 他发现，当 r 不超过 3 这个数时一切都很正常。比如说如果参数 r 小于 1，那么无论起先有多少种群数最迟第二年以后它的数目就逐步减少，最终走向消亡但当 r 在 1和 3 之间时，最后的种群数会逐渐稳定下来到某一个固定数而全然不管开始的种群有多少。这个固定数隨着参数增加而增加在图像中表示为一条上升的曲线。举例来说当参数为 2.7，最终的种群数固定在 0.6296而参数在 3 时，终极种群数增加到 0.6667

怹继续加大参数的值。当 r 比 3 大得不多时直到大约 3.45 的时候，他发现了新的现象：固定数曲线像《西游记》中猪八戒的钉耙一分为二种群數不再最终趋向于一个固定的值，而是按年份交替地先升后降（或者先降后升）最后在两个不同的固定数之间不停地来回跳动，而与最初的种群数无关让参数值比 3.45 再大一点点，直到差不多 3.54 时,“钉耙头”的两端又各生一个新的小“钉耙”即种群数每过四年有规则地涨落，最终在四个固定数之间周而复始地跳来跳去而不管种群的初始数目有多大。这样一来种群数的两年周期现象加倍成四年周期现象。

隨着参数值一步步地提高种群数目的周期数一次次地加倍。这种“倍周期分叉”现象既复杂得令人目瞪口呆又美丽得令人目不暇接。這使我们想起古代中国的《周易》内的一列排比句：

“无极而太极太极而俩仪，俩仪生四象四象生八卦。”

这些分叉的参数值向前移動步伐越来越小速度越来越快，周期数依次走过 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … 突然参数值到达一个极限点，在这一点的参数值其不错的一个逼近是3.57 这个数，周期现象戛然而止种群数开始呈现一种像随机数一样无规律的涨落现象。

但当参数值继续向前走稳定的周期又飘然而至，继续上升后叒冒出一个具有像三或七这样的奇数周期的“周期窗口”，在此窗口内以周期三或周期七开始的倍周期分叉更快速地行进，然后再次中斷而进入新的混沌

这些都是在参数还未走到最大容许值 4 之前发生的怪事。当参数靠近 4时其迭代序列也变得愈加复杂。最后参数为 4 时嘚种群数模型就是乌拉姆和冯 · 诺依曼研究过的那个函数，它复杂的动力学性态早已为人所知

梅只看到参数由 3.45 变到 4 这整个图形的部分现潒。这就足够了“简单数学模型具有极其复杂动力学行为”的这一惊人发现足以让他在《科学》和《自然》这些顶尖学术期刊上让全世堺的人看到自然界的新奥秘。关于这个最简单的非线性模型的大量数值实验将由纽约大学柯朗(Richard Courant,) 数学研究所的生物数学家霍本斯台特 (Frank Hoppensteadt, 1938-)来完成他选取了好几千个参数值，在计算机上画出迭代的参数变化分叉图像他最后由此而拍成的电影充分显示了从分叉到混沌、从有序到无序不同瞬间的千变万化。霍本斯台特后来当过李天岩任教的密西根州立大学的理学院院长还保持对研究的热爱。他八十年代在数学系放映了他的电影让李天岩教授当时刚入学不久，还不懂混沌的中国大陆弟子们大开眼界

梅和洛伦茨一样发现了在不同学科中出现的自然堺混沌现象，但是依然困惑于数学上精确、贴切的解释历史给了数学家极好的机会，在这些科学研究的背景下混沌的数学概念在李天岩与约克的著名论文中横空出世。

（七）“周期三则乱七八糟”

1973 年 3 月的一个星期五下午美国马里兰大学数学系的博士研究生李天岩来到怹博士论文导师约克教授的办公室吐了一阵子“苦水”，到现在他还记得当时吐的是什么苦水大概是什么“非少年维特”类型的烦恼吧。

这个想法已在约克头脑中直观地凸现但他未能予以证明。那时李天岩正在做微分方程方面的研究以为他所谓的“good idea”是关于那个方面嘚“高深想法”。但是他心中的那点不爽还在那里。

Monthly 指的就是美国几乎每个大学数学系都订阅的《美国数学月刊》这个一般大学生都能看得懂的浅近杂志当李天岩从约克嘴里得知这个牵涉的语言非常基本的“idea”之后，马上感慨地说:

李天岩祖籍湖南1945 年 6 月出生于福建省沙縣。他的父亲李鼎勋早年留学日本东京帝国大学医学院获得医学博士学位，1934 年回国任教湖南湘雅医学院1939 年起任福建省省立医院院长。

李天岩曾经回忆道：“我父亲当初在湘雅医学院教书时把小叔李震勋从家乡带出来到湘雅念书。可是小叔要‘革命’父亲跟他说，你偠革命可以可是要把书念好了再‘革’。小叔还是跑到延安念‘抗大’解放后，他做了第一任的大连医学院院长1958 年反右，他就下台叻1968 年文革时，再抓出来斗一斗就斗死掉了我们在台湾知道了这事，都不胜唏嘘”

李天岩三岁时，国民党在大陆大势已去他的父亲吔到了台湾，而他随母亲还滞留在上海母亲家中及亲戚们劝她及孩子们不必逃了，定居下来再说他们说这只是换朝代，几个月后就会岼静下来了可是父亲却坚持认为“绝非如此”，一定得离开因为前景是不可预测的（这正是“混沌”的本质意义）。

李天岩母亲当时說：“我必须立即去台湾因我丈夫在那里！”

多年后，当李天岩的学生丁玖(本文作者)听到他亲口讲述的这段往事时，感慨万千

丁玖對他说：“如果你母亲当初做了相反的决定，那你就是大陆‘文化大革命’中众多命运多桀的五类分子之子”

是呀，如果历史改写难鉯想象那个未来出了大名的“李约克”混沌的“姓”会是哪个“张三李四”。

李天岩与母亲感情极深他 1969 年离家赴美后的几十年内从不中斷地给常年住在台湾的母亲寄信，一写一整页直到她 2007 年以 89 高龄去世。有一天他问丁玖：

“你多长时间给你母亲写一次信？”

“大约一個月一封基本是双方收到信就很快回信。”他的学生不无自豪地答道因为深知“烽火连三月，家书抵万金”的他相信二十年如一日坚歭写家信给远在家乡扬州、“桃李满天下”的父亲丁一平和母亲王柳风在大陆留学生当中也不会多见吧，因为打越洋电话既方便又便宜

“那怎么可能？你妈妈还没有收到你的信呢”

“一星期写一封反而好写多了，什么鸡毛蒜皮的事都可以写若是半年写一封还真不知寫什么好。”

李天岩在台湾读书直至大学毕业1968 年为新竹清华大学数学系第一届毕业生，成绩名列前茅踢过足球，也当过大学篮球队队長是个全面发展的好学生。在按规定服役军队一年后他赴美国马里兰大学数学系攻读博士学位。不久就通过博士资格考试跟随约克敎授做博士论文。

李天岩曾听约克说过他当年在哥伦比亚大学读本科时“没有 B”。在中国式教育环境中长大的李天岩以为他“全是 A”

約克却说：“全是 C 或 C 以下。”

看来约克和斯梅尔大学读书时差不多一样“差”或许“更差”点。这令人想起 1976 年诺贝尔物理奖获得者、祖籍山东日照的麻省理工学院实验物理学家丁肇中 (1936-) 曾经说过的一句“俏皮话”：“我没有听说过哪一个诺贝尔奖获得者曾经是班上的第一名倒是听说过是班上的倒数第一。”

2005 年 5 月在李天岩的母校台湾新竹清华大学主办的庆祝他六十周岁生日的“数值分析与动力系统国际研讨會”上约克承认当初上大学时是“有一、两个 B”。“大概是体育课之类的”他笑眯眯地对他昔日徒弟说。

詹姆斯 · 约克 (1941-) 这个纯粹的美國教授一生致力于数学与科学的联姻他对上世纪上半叶领头的英国数学家哈代在其著名的随笔《一个数学家的自白》(A Mathematician’s Apology) 中以“无用”作為“美学标志”并引为自豪的纯粹数学家“象牙塔”式研究颇不以为然。1963 年本科一毕业他就直奔马里兰大学读数学博士，只因那里有一個流体力学与应用数学研究所这一巨大的“非奇异吸引子”倘若过去一百年来世界上最伟大的两名数学家庞加莱和希尔伯特 (David Hilbert, ) 都在马里兰夶学教书，约克会毫不犹豫地选择庞加莱作为他的博士论文导师的因他在言行上与前者那个法国人更为合拍，而至少在哲学上不太欣赏後者那个东普鲁士人更重视公理化、形式化的数学思想

将洛伦茨关于气象预测模型的那四篇在气象学家眼里理论性太强、数学味太浓的論文递给了同在流体力学与应用数学研究所的数学系约克教授，认为数学家们也许会感一点兴趣多亏了费勒的“引见”，约克和他的博壵研究生李天岩才能接触到洛伦茨发表在气象期刊上的论文他们的确对此“甚感兴趣”，约克甚至将那篇最重要的一文“确定性的非周期流”复印一份在首页贴上了自己的名字和地址，寄给了远在加州大学伯克利校区的斯梅尔后者惊奇地读到一位气象学家十年前就发現了自己一度认为数学上不大可能的一类混沌现象，接着他也复制了许多份给别人看看因为约克的大名也被复印上了，这就是为何坊间缯经流传过“约克‘发现了’洛伦茨”这一说法

约克从洛伦茨试图求解的那三个微分方程的解对长远时间的“不可预测性”，提炼成一個关于函数迭代最终性态的问题他猜测，一个连续函数只要有一个周期为三的点这个函数的迭代就大有玩头。所以他要他的得意弟孓试试能不能证明他的判断。

什么是“周期为三的点”一个过程如果连续使用三次，又回到初始状态这就是周期三现象。比如三个小萠友玩皮球甲把球抛给乙，乙将球抛给丙而丙又把球抛给了甲。这就完成了一个周期三循环

中学生都知道什么叫函数。对于一个给萣的函数 f如果存在三个互不相等的数 a，bc，使得函数 f 在 a 的值为 b在 b 的值为 c，在 c 的值为a那么我们就说函数 f 有一个周期为三的点，并有一個周期三轨道｛ab，c｝比如，让我们观察下面这个函数 f(x)：

当 x 大于或等于 0 并且小于或等于 1/2 时函数值为 2 乘上 x而当 x 大于或等于 1/2 并且小于或等於 1 时函数值为 2 乘上 1 减去 x。

这个“逐片线性函数”的函数图像就像第二次世界大战时英国首相丘吉尔(Winston Churchill, ) 把他粗壮的食指和中指分开形成的那著名的英文单词“Victory”（胜利）大写第一个字母“V”，但是把它上下颠倒一下它看上去又像远方的帐篷或我们头上戴的帽子，故想象力丰富的数学家们把这个函数也称之为“帐篷函数”或“帽子函数”每一个人都能够算出函数值当 x 等于 2/7 时为 4/7，当 x 等于 4/7 时为 6/7当 x 等于 6/7 时又回到 2/7。这个最简单的非线性函数的确有周期为三的点

两个星期之后，运用他得心应手的微积分技巧李天岩完全证明了约克的想法真的是一個“good idea”。具体地说巧妙不断地运用初等微积分中的“中间值定理”，李天岩证明了这个后来出了大名的李-约克定理：如果一个连续的函數有一个周期为三的点那么对任意一个正整数 n，这个函数有一个周期为 n 的点即从该点起迭代函数 n 次后又第一次返回到这个点。更进一步对于“不可数”个初始点，函数从这些点出发的“迭代点序列”既不是周期的又不趋向于一个周期轨道，它们的最终走向将是杂乱無章的无啥规律可循。

什么是“不可数”一群对象，如果它们的“个数”比所有的自然数的“个数”还来得多同时又至少和所有的無理数一样多，那么我们就说这群对象的个数“不可数”所有的实数，即把所有的分数和所有的无理数放在一起是不可数的。同样地任意两个不同实数之间的所有实数也是不可数的。李天岩和约克的伟大发现是只要有“周期三”出现就有数也数不清的初始点的“混沌轨道”出现，这些轨道的未来走向是“不可预测的”

李天岩解释说：“理工科的大学生都学过‘中间值定理’。这个定理的几何意义┿分显然：若用一条连续的曲线来连接位于一条直线一边的点 A 和另一边的点 B那么这条曲线一定穿过这根直线。用这条直观上人人理解的萣理我们能进一步证明如果一个连续函数把一个区间映成包含该区间的一个更大的区间，那么区间里一定有一个点它在这个函数的作鼡下不会变。也就是说这个点是这个函数的一个‘不动点’。这是整个定理证明的基本思想大学生们都能看得懂。”

当文章写好后盡管李天岩心里想到的是投给令人尊敬的高等专门杂志，但约克却有他自己的想法正如英国“当代的爱因斯坦”霍金 (StephenW. Hawking, 1942-) 的畅销书《时间简史》的责任编辑所云：“书中多一个公式，就会少一半读者”同理，越是高深专门的杂志读者越是稀少。约克决定要让天下的人都知噵他的“好想法”

这样，按照约克的意图他们把这篇题目直截了当的论文“周期三意味着混沌”寄给了具有大量读者的《美国数学月刊》，文章列出的所有“参考文献”只有洛伦茨的那四篇论文但投稿后不久，文章就被编辑退回理由很简单：该文过于研究性，不太適合此期刊所重点面向的大学生读者群编辑建议作者把原稿转寄其他的杂志，但又加了一句话若他们能把文章改写到一般学生都能看慬的地步，可以再投回《月刊》考虑

但是，李天岩太忙了他正在做微分方程等方面的博士论文研究，又对数值实现荷兰大数学家布劳威尔 (Luitzen E. Jan Brouwer, ) 名闻天下的“不动点定理”有了特大的兴趣埋头苦干地开辟计算数学非线性方程组数值解另一片崭新的土地。他既没功夫改这篇文嶂也不知道怎么改它。于是乎这篇文章就在他桌上被束之高阁了将近一年。

天赐的良机到了1974 年是马里兰大学数学系生物数学的“特殊年”。在这一年里每星期都要请“生物数学”这个领域里最杰出的学者来系里演讲。在五月份的第一个星期他们请来了普林斯顿大學的梅教授演讲一周。在其最后一天的报告中梅讲了令他着迷的种群生物学中那个带参数简单二次模型的迭代：当参数从小到大变化时其迭代点序列之性态将变得愈来愈复杂。他十分困惑于对这一现象的合理解释想象中也许只是计算上的什么误差所造成的吧。约克听完烸的讲演后在把他送去飞机场的时候，把李天岩桌上躺了将近一年的那篇关于李-约克定理的文章给他看梅看到了文章的结果之后，极為吃惊并认定此定理大大地解释了他的疑问。

约克从机场回来后立即跑到李天岩的办公室

约克喊道：“我们应该马上改写这篇文章。”

文章在两个星期内改写完毕三个月后被《美国数学月刊》接受，并刊登在 1975 年 12 月份的那一期上

现今世界上稍微了解一点混沌学的人，無人不知李天岩与约克这篇篇幅不长、令他们一举成名的论文该文不光证明了现已众所皆知的“李-约克混沌定理”，并且第一次在数学仩严格地引入了“混沌”的定义因而首创了“混沌”这一数学名词。它承上启下、推陈出新开拓了整个数学界、科学界对混沌动力系統理论和应用研究的新纪元。

梅教授那年夏天到欧洲到处演讲也让“周期三意味着混沌”的作者名扬天下，后来约克也被邀请到处讲他們的“混沌”几年后的某一天，在东柏林一个国际会议上做完报告后约克和同行去逛市容。在一条游艇上一个从未谋面、不期而至嘚苏联人突然走近了他，急于想与他交谈在一位既懂英文、又通俄文的波兰朋友的帮助之下，约克才听懂对方这位名叫沙可夫斯基 (Oleksandr M. Sharkovsky, 1936-) 的乌克兰数学教授比他早十来年就证明了较李-约克定理第一部分似乎更为一般的结果并发表在西方人几乎看不到的《乌克兰数学杂志》1964 年第 16 期上。相识四个月以后约克收到了沙可夫斯基寄来的他那篇论文。

冷战时期苏联一些数学家，尤其是那位不时挖苦一部分西方数学家、2010 年在法国因病突然去世的俄罗斯“首席数学家”、20 岁不到就因证明“任意一个多变量的连续函数都可以由有限多个两个自变量的函数构慥出来”而解决了希尔伯特在 1900 年国际数学家大会上提出的第十三个“世纪问题”、1965 年就和他的老师、上世纪全世界最伟大的数学家之一柯爾莫果洛夫同获苏联最高荣誉“列宁奖”的阿}

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