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S△ABC=1,又S△BDE=S△DEC=S△AEC,求△ADE的面积.E在AB边,D在BC边
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因为:S△BDE=S△DEC这两个三角形同高,所以推出他们底边相等即:BD=CD 所以知道D是BC的中点S△BDE=S△DEC=S△AEC==>△BEC=2△AEC这两个三角形也是同高的所以推出BE=2AE==>AE=1/3AB所以△AEC的面积=1/3△ABC的面积=1/3(同高,底边是大三角形的三分之一)因为D是BC的中点,所以过点D和点C作AB的垂线,交AB于M、N.所以CN=2DM（简单利用平行线所分的直线成等比）△ADE=1/2△AEC=1/6(同底,高是另一个三角形的一半)所以△ADE的面积=1/6
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作一个等腰直角三角形BEC,E为直角,BC=(根号6)/3,D在BC的中点,A在BE的延长线上,AE=(根号3)/3，这样就满足了题目的所有条件：S△ABC=1,又S△BDE=S△DEC=S△AEC，很容易就求得： 角AED=角DEC+角AEC=45度+90度=135度那么：
△ADE的面积=0.5*EA*ED*sin角AED
扫描下载二维码DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．解答：解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF=S△BDE，过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，1=DF2∠CDF1=∠CDF2CD=CD，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．
练习册系列答案
科目：初中数学
（;河南）如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（　　）A．1B．4C．5D．6
科目：初中数学
（;河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（　　）A．AG=BGB．AB∥EFC．AD∥BCD．∠ABC=∠ADC
科目：初中数学
（;河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．
科目：初中数学
（;河南）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为6s时，四边形ACFE是菱形；②当t为1.5s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．
科目：初中数学
（;河南）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．
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2． 如图.已知ΔABC中.AD为BC边中线.E为AD上一点.并且CE=CD, ∠EAC=∠B,求证:ΔAEC∽ΔBDA,DC2=AD•AE 【】
题目列表(包括答案和解析)
如图，已知ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4cm，AC=3cm，则AD的取值范围是（　　）
A、3＜AD＜4B、1＜AD＜7C、D、
如图，已知ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4cm，AC=3cm，则AD的取值范围是（　　）A．3＜AD＜4B．1＜AD＜7C．12＜AD＜72D．13＜AD＜73
如图，已知ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4cm，AC=3cm，则AD的取值范围是A.3＜AD＜4B.1＜AD＜7C.D.
如图，已知ABC中，AD为BC边上的中线，且AB=4cm，AC=3cm，则AD的取值范围是
[&&&& ]A．3＜AD＜4B．1＜AD＜7C．D．
如图，已知△ABC中，AD为BC边上中线，E为AC上一点，BE与AD交于F，若AE＝EF
求证：AC＝BF
证明：如图，延长FD交N，使DN＝DF，连结CN．
在△BDF和△CDN中
∴△________≌△________．
∴∠3＝∠N，BF＝CN
∵AE＝FE，∴∠________＝∠________
∴∠3＝∠2∴∠1＝∠N
∴________＝________∴BF＝AC
阅读后回答下列问题：
请在上述证明的横线上填写恰当的步骤；
上述证明过程还有别的辅助线作法吗？若有，试选出一种________；
若把AE＝EF换成AD平行于∠BFC的平分线EG，其他条件不变，问原结论是否成立？请给予证明．
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0位同学学习过此题，做题成功率0%
（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是&；（2分）②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　&.（2分）（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（5分）（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使，请直接写出相应的BF的长：BF＝＿＿＿＿＿．（3分）&
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-福建省永定二中、三中、城关小学九年级上学期期中联考数学试卷
分析与解答
习题“（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与A...”的分析与解答如下所示：
（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．试题解析：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，在△ACN和△DCM中，∵∠ACN=∠DCM，∠CMD=∠N=90°，AC=CD，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，在△CDF1和△CDF2中，∵DF1=DF2，∠CDF1=∠CDF2，CD=CD，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=，故BF的长为或．
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（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线...
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证明∵CE&AB于E点，BF&AC于F点 ∴&BEC＝&BFC＝90&&AEC＝&AFB＝90& ∵在△BED和△DFC中 ｛&BED＝&BFC ｛&EDB＝&FDC ｛BD＝CD ∴△BEC≌△DFC（AAS） DE＝DF 且&AEC＝&AFB＝90& ∴D点在三角形BAC的平分线上。证明（1）&CAB=&BCE &BCE+&DCA=90& 所以&CAB+&DCA=90& 又&DAC+&DCA=90& 所以&CAB=&DAC 即AC平分&DAO （2）同理有&CBE+&BCE=90& &CBA+&BAC=90& &BAC=&BCE 所以&CBE=&CBA 即BC平分&EBO （3）连接CO 知OC垂直DE 所以BE//OC//AD 因为AO=OB 所以DC=CE （4）从C点作垂线CF垂直AB交于AB上一点F 由&CAB=&DAC AC=AC &DCA=&CFA=90& 所以△ADC全等△AFC 所以AD=AF 同理有△CBE全等△CBF 所以BE=BF 所以AD+BE=AF+BF=AB。}