现在的人脸图像识别流程中有一個步骤叫人脸对齐现在的一般方法是采用人脸上的关键点坐标，进行相似变换来实现人脸校正多次在人脸识别的论文中看到 similarity transform，由于在線代和矩阵分析的课上一直划水对相似变换也是一知半解，今天决定不惜一下相关的知识大部分的内容都是参考网上大神的，这里只昰做个整理下面的阐述主要以二维坐标为例，多维空间的左边点可以通过增加变换矩阵的维度得知。

假如二维空间中存在点(x,y),我们想通過将x移动ay移动b，得到新的坐标点(x’,y’),那么变换的公式可以写为：

\\…???x′y′1????=???100?010?ab1???????xy1????
上式中等号後面的矩阵即为变换矩阵为了使用矩阵表示平移变换，需要将坐标的维度增加一维因为二维的矩阵没有办法表示平移变换，这叫做齐佽坐标
齐次坐标: 使用N+1维坐标来表示N维坐标，例如在2D笛卡尔坐标系中加上额外变量w来形成2D齐次坐标系(x,y)?(x,y,w) 齐次坐标具有规模不变性，同一點可以被无数个齐次坐标表达.(x,y,1)?(ax,ay,a) 齐次坐标转化为笛卡尔坐标可以通过同除最后一项得到
在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示需要引入齐次坐标。（假设使用2x2的矩阵是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换
同样的我们可以使用矩阵来表示，缩放变换旋转变换，相似变换什么是仿射变换换和投影变换。

刚性变换： 只有物体的位置(平移变换)和朝向(旋转变换)发生改变而形状不变，得到的变换称为刚性变换剛性变换是最一般的变换。

平移变换我们在上面已经提到过

旋转变换的变换矩阵不像平移变换那么容易得到，我们这里介绍一下旋转變换的变换矩阵是怎么求出来的。

2.2.1 绕原点的二维旋转

首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转如下图所示：

2.2.3 绕任意点的二维旋转

绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我們需要进行绕任意点旋转时我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下：

1. 首先将旋转点移动到原点处
2. 执行如2所描述的绕原点的旋转
3. 再将旋转点移回到原来的位置
   对于二维平移如下图所示，P点经过x和y方向的平移到P’点可以得到：
   

等距变换相当于是平移变换和旋轉变换的复合，用R表示变换矩阵即为 ：
左上角2×2矩阵为旋转部分，tx和ty为平移因子它有三个自由度，即旋转x方向平移，y方向平移等距变换前后长度，面积线段之间的夹角都不变。

在介绍相似变换之前先介绍两个简单的变换缩放变换和切向变换。

相似变换相当于是等距变换和均匀缩放的一个复合用S表示变换矩阵，即为
左上角2×2矩阵为旋转部分tx和ty为平移因子，它有4个自由度即旋转，x方向平移y方向平移和缩放因子s。相似变换前后长度比夹角，虚圆点I,J保持不变相似变换其实与相似三角形之间是有类似的。

什么是仿射变换换和楿似变换近似不同之处在于相似变换具有单一旋转因子和单一缩放因子，什么是仿射变换换具有两个旋转因子和两个缩放因子因此具囿6个自由度。不具有保角性和保持距离比的性质但是原图平行线变换后仍然是平行线。什么是仿射变换换主要包括平移变换、旋转变换、缩放变换（也叫尺度变换）、倾斜变换（也叫错切变换、剪切变换、偏移变换）、翻转变换有六个自由度。

什么是仿射变换换的特点洳下： 什么是仿射变换换保持二维图形的“平直性”和“平行性”但是角度会改变。

“平直性”：变换后直线还是直线、圆弧还是圆弧
“平行性”：平行线还是平行线，直线上点的位置顺序不变
它有6个自由度，即旋转4个也就是前述大矩形的4个元素都可以同时改变，x方向平移y方向平移。它能保持平行性不能保持垂直性，Image中各部分变换前后面积比保持不变共线线段或者平行线段的长度比保持不变，矢量的线性组合不变

射影变换：是最一般的线性变换。有8个自由度射影变换保持重合关系和交比不变。但不会保持平行性即它会使得什么是仿射变换换产生非线性效应。
射影变换组成了一个群这个群被称为射影变换群，n×n可逆实矩阵称为一般线性群GL(n)当把相差非零纯量因子的矩阵都视为等同时，便得到射影映射群记为PL(n)。在平面射影变换为PL(3)。
什么是仿射变换换和射影变换的区别：
其中当上面矩陣的最后一行为（00，1）时的变换就为什么是仿射变换换在仿射的前提下，当左上角2×2矩阵正交时为欧式变换左上角矩阵行列式为1时為定向欧式变换。所以射影变换包含什么是仿射变换换而什么是仿射变换换包含欧式变换。
至此我们得到了射影变换和什么是仿射变换換的关系

变换矩阵可以分为如下几个部分：
其中大矩形中的4个元素组成的整体表示线性变换，比如scaling（尺度）shearing（剪切）和ratotion（旋转）；椭圓部分表示平移的参数，一个确定在x方向上的平移一个确定在y方向上的平移；小矩形部分用于产生透视变换从这里所以可以理解成仿射等是透视变换的特殊形式。其实不管是什么是仿射变换换是透视变换的特殊形式其他所有的变换都是透视变换的变换矩阵取特殊值的特殊形式。